Fórmula de Legendre

Teoría

La Fórmula de Legendre (también conocida como la Fórmula de de Polignac) es un resultado fundamental en teoría de números que determina el exponente de la mayor potencia de un primo $p$ que divide a $n!$ (n-factorial). En el lenguaje de las valuaciones $p$-ádicas, este exponente lo escribimos como $v_p(n!)$. Como la factorización en primos de $n!$ es esencial para entender las propiedades de divisibilidad de los coeficientes binomiales, permutaciones y productos grandes, esta fórmula es básica en las olimpiadas de matemáticas y aparece seguido en problemas de ceros al final o aritmética modular.

La intuición detrás de la fórmula se basa en un argumento de conteo sistemático. Para encontrar el número total de factores de $p$ en el producto $1 \times 2 \times \dots \times n$, primero puedes contar los múltiplos de $p$. Sin embargo, los múltiplos de $p^2$ aportan un factor adicional de $p$, los múltiplos de $p^3$ aportan otro más, y así sucesivamente. La Fórmula de Legendre formaliza esto sumando la cantidad de múltiplos de $p, p^2, p^3$, etc., capturando así cada aportación del primo $p$ al factorial.

Aunque la forma de suma estándar es la más común, hay una formulación equivalente que usa la suma de los dígitos de $n$ en base $p$. Esta forma alternativa es muy útil para demostraciones teóricas y problemas que involucran