(p/q)(q/p) = (-1)^((p-1)(q-1)/4).
La Ley de Reciprocidad Cuadrática es un teorema fundamental en la teoría de números que describe la relación entre la solubilidad de dos congruencias cuadráticas que involucran primos impares distintos $p$ y $q$. Específicamente, conecta la pregunta "¿Es $q$ un residuo cuadrático módulo $p$?" con la pregunta "¿Es $p$ un residuo cuadrático módulo $q$?". Aunque determinar si un número es un cuadrado módulo un primo se puede hacer con el Criterio de Euler, el cálculo se vuelve muy latoso para primos grandes. La Reciprocidad Cuadrática te da un algoritmo poderoso (parecido al algoritmo de Euclides) para calcular símbolos de Legendre volteando el módulo y reduciendo repetidamente.
A menudo le dicen el "Teorema de Oro" de la teoría de números. Su belleza está en la simetría que revela: para dos primos impares distintos $p$ y $q$, el símbolo de Legendre $\left(\frac{p}{q}\right)$ es igual a $\left(\frac{q}{p}\right)$ a menos que ambos primos dejen un residuo de 3 al dividirlos entre 4. Si $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$, los símbolos tienen signos opuestos. Esta relación permite evaluar rápido $\left(\frac{a}{p}\right)$ para cualquier entero $a$ factorizando $a$ y aplicando la reciprocidad a los factores primos.