Usando números de Fermat y otros métodos.
Aunque la demostración de Euclides sobre la infinitud de los primos es la más famosa, la teoría de números ofrece varios métodos alternativos para llegar a este resultado fundamental. Estas demostraciones alternativas no son simples curiosidades; a menudo usan técnicas de diferentes ramas de las matemáticas —como el análisis, la topología o la combinatoria— y dan ideas más profundas sobre la distribución y la naturaleza de los números primos. Para los estudiantes de matemáticas de olimpiada, estas demostraciones son valiosas porque presentan métodos constructivos para generar sucesiones de enteros coprimos y establecen límites sobre el crecimiento del $n$-ésimo número primo.
Uno de los enfoques algebraicos más educativos, atribuido a Christian Goldbach, utiliza los números de Fermat. La estrategia central de esta demostración es construir una sucesión infinita de números naturales que sean primos relativos entre sí (o coprimos por pares). Si puedes demostrar que existe una sucesión infinita ${a_1, a_2, a_3, \dots}$ tal que $\gcd(a_n, a_m) = 1$ para todo $n \neq m$, entonces cada número en la sucesión debe introducir al menos un factor primo nuevo que no esté en los otros. Como la sucesión es infinita, el conjunto de factores primos que salen de ellos también debe ser infinito.
Este enfoque constructivo es diferente a la demostración por contradicción de Euclides. En lugar de suponer una lista finita de primos y encontrar una contradicción, aquí demuestras activamente un mecanismo para producir factores primos distintos indefinidamente. Este método se apoya mucho en las propiedades recursivas de los enteros y en la aritmética modular, específicamente en el comportamiento de las potencias de 2.
Definición de los Números de Fermat Al $n$-ésimo número de Fermat lo definimos como: $$F_n = 2^{2^n} + 1$$ para enteros no negativos $n \ge 0$. Los primeros números de Fermat son $3, 5, 17, 257, 65537$.
Relación de Recurrencia Una propiedad crucial para demostrar que son coprimos por pares es la relación de producto: $$F_n = 2 + \prod_{k=0}^{n-1} F_k$$ O de forma equivalente: $$\prod_{k=0}^{n-1} F_k = F_n - 2$$
Coprimalidad por Pares Para cualesquiera enteros no negativos distintos $n$ y $m$: $$\gcd(F_n, F_m) = 1$$
Resultado Analítico de Euler (Enfoque Alternativo) Aunque la demostración con números de Fermat es algebraica, Euler demostró la infinitud de los primos al mostrar la divergencia de la serie armónica restringida a la factorización prima: $$\sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p} = \infty$$
Teorema: Existen infinitos números primos.
Demostración (usando Números de Fermat):
La idea es demostrar esto construyendo una sucesión infinita de números naturales que sean primos relativos entre sí.
Paso 1: Establece la relación de recurrencia para los números de Fermat. Lo que hay que mostrar es que $F_n - 2 = F_0 F_1 \cdots F_{n-1}$. Para esto, usa inducción matemática.
Caso Base: Para $n=1$, $F_1 - 2 = (2^{2^1} + 1) - 2 = 5 - 2 = 3$. También, $F_0 = 2^{2^0} + 1 = 3$. Por lo tanto, la relación se cumple.
Paso Inductivo: Supón que $\prod_{k=0}^{n-1} F_k = F_n - 2$. Ahora examina el producto hasta $n$: $$ \prod_{k=0}^{n} F_k = \left(\prod_{k=0}^{n-1} F_k\right) F_n = (F_n - 2)F_n $$ Sustituye $F_n = 2^{2^n} + 1$: $$ (2^{2^n} + 1 - 2)(2^{2^n} + 1) = (2^{2^n} - 1)(2^{2^n} + 1) $$ Usando la factorización de diferencia de cuadrados $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$: $$ (2^{2^n})^2 - 1 = 2^{2 \cdot 2^n} - 1 = 2^{2^{n+1}} - 1 $$ Por definición, $F_{n+1} = 2^{2^{n+1}} + 1$, así que $2^{2^{n+1}} - 1 = F_{n+1} - 2$. Así, la recurrencia se cumple para todo $n \ge 1$.
Paso 2: Demuestra que los números de Fermat son coprimos por pares. Toma $n$ y $m$ como enteros no negativos distintos. Sin perder generalidad, supón que $n > m$. Sea $d = \gcd(F_n, F_m)$.
Como $d$ divide a $F_m$, y $m < n$, entonces $d$ tiene que dividir al producto de todos los números de Fermat hasta $n-1$: $$ d \mid \prod_{k=0}^{n-1} F_k $$ Del Paso 1, sabes que $\prod_{k=0}^{n-1} F_k = F_n - 2$. Por lo tanto: $$ d \mid (F_n - 2) $$ Como $d$ es un divisor común de $F_n$ y $F_m$, por definición sabes que $d \mid F_n$. Si $d$ divide a $F_n$ y $d$ divide a $F_n - 2$, entonces $d$ tiene que dividir a su diferencia: $$ d \mid (F_n - (F_n - 2)) \implies d \mid 2 $$ Los divisores de 2 son 1 y 2. Sin embargo, los números de Fermat son $2^{2^k} + 1$, que es la suma de un número par y uno impar. Por lo tanto, todos los números de Fermat son impares. Como $F_n$ y $F_m$ son impares, $d$ no puede ser 2. Por lo tanto, $d = 1$.
Paso 3: Conclusión. Ya mostraste que para cualesquiera $n, m$ distintos, $\gcd(F_n, F_m) = 1$. Cada entero $F_n > 1$ tiene al menos un factor primo. Sea $p_n$ el factor primo más pequeño de $F_n$. Como $\gcd(F_n, F_m) = 1$, los factores primos de $F_n$ deben ser distintos a los factores primos de $F_m$. En consecuencia, la sucesión de factores primos ${p_0, p_1, p_2, \dots}$ consiste en números primos distintos. Como hay infinitos números de Fermat, tiene que haber infinitos números primos.
$\square$