Si fueran finitos, considera p1·p2·...·pn + 1.
La demostración de Euclides sobre la infinitud de los primos es uno de los argumentos más famosos y elegantes en las matemáticas; apareció originalmente en su obra Elementos (Libro IX, Proposición 20). La demostración muestra que el conjunto de los números primos no es finito. Se basa en un argumento constructivo que muchas veces verás como una demostración por contradicción. La idea clave es que, si tienes cualquier lista finita de números primos, puedes construir un nuevo entero que no sea divisible por ningún primo de esa lista. Esto implica que existe al menos un número primo adicional que no estaba en el conjunto original.
Esta técnica es fundamental en Teoría de Números, especialmente para el AMC 10/12 y competencias de Olimpiada, porque te enseña la estrategia de construir números con propiedades de divisibilidad específicas para sacar contradicciones o demostraciones de existencia. Un error común entre los estudiantes es pensar que el número construido tiene que ser primo por sí mismo. Sin embargo, el teorema solo garantiza que el número construido tiene un factor primo que no está en la lista original. Esta lógica la puedes adaptar seguido para demostrar la infinitud de primos con formas específicas (por ejemplo, primos de la forma $4k+3$).
La construcción principal se basa en formar un número $N$ a partir de un conjunto finito de primos distintos $S = {p_1, p_2, \dots, p_n}$.
La Construcción