∑φ(d) = n para todos los divisores d de n.
La identidad de la Suma de los Totientes es un resultado fundamental en la teoría de números que te dice que la suma de la función totiente de Euler, $\phi(d)$, tomada sobre todos los divisores positivos $d$ de un entero $n$, es igual al mismo $n$. Esta identidad establece una conexión profunda entre la estructura aditiva de los enteros (contar hasta $n$) y su estructura multiplicativa (divisores y coprimalidad). Sirve como un caso específico de la convolución de Dirichlet que involucra a la función totiente y a la función constante $1$.
Este concepto es clave en las olimpiadas de matemáticas para simplificar sumas con condiciones de MCD y para resolver problemas de conteo relacionados con fracciones o grupos cíclicos. Por ejemplo, en un grupo cíclico de orden $n$, hay un único subgrupo de orden $d$ para cada divisor $d$ de $n$, y ese subgrupo tiene exactamente $\phi(d)$ generadores. Si sumas el número de generadores de todos los subgrupos, estás contando cada elemento del grupo exactamente una vez, lo que te da una justificación desde la teoría de grupos para la identidad.
Para que te des una idea, puedes visualizar este teorema pensando en las fracciones $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n}{n}$. Hay exactamente $n$ de estas fracciones. Cuando reduces cada fracción a su mínima expresión, el nuevo denominador será un