φ(mn) = φ(m)φ(n) cuando mcd(m,n)=1.
La función totient de Euler, que escribes como $\phi(n)$, cuenta cuántos enteros positivos menores o iguales a $n$ son primos relativos con $n$. Dices que una función $f$ es multiplicativa si $f(mn) = f(m)f(n)$ siempre que $\gcd(m, n) = 1$. La función totient cumple con esta propiedad, y es la herramienta fundamental que usas para calcular $\phi(n)$ para cualquier entero $n > 1$. Sin esta propiedad, calcular $\phi(n)$ te obligaría a revisar el máximo común divisor de $n$ con cada entero hasta $n$, lo cual es imposible de hacer para números grandes.
Que $\phi(n)$ sea multiplicativa te permite descomponer el cálculo en potencias de primos. Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, puedes factorizar cualquier entero $n$ de forma única en potencias de primos $p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$. Como estos bloques de potencias de primos son coprimos entre sí, la propiedad multiplicativa implica que $\phi(n) = \phi(p_1^{e_1}) \cdots \phi(p_k^{e_k})$. Como calcular el totient de una potencia de primo es muy fácil ($\phi(p^k) = p^k - p^{k-1}$), esta propiedad te da una fórmula completa para $\phi(n)$.