Enunciado del Pequeño Teorema de Fermat

Teoría

El Pequeño Teorema de Fermat es un resultado fundamental en la teoría de números que establece una relación entre los números primos y las potencias de los enteros. Dice que si elevas un entero $a$ a la potencia de un primo $p$, el resultado es congruente con $a$ módulo $p$. En el caso específico donde $a$ no es divisible entre $p$, puedes simplificar el teorema y ver que $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Este teorema pone una restricción muy fuerte al comportamiento de los exponentes en la aritmética modular y sirve como un caso específico del Teorema de Euler, que es más general.

Este teorema aparece por todos lados en las competencias de matemáticas, como en el AMC 12, el AIME y la USAMO. Su utilidad principal está en simplificar cálculos que involucran exponentes grandes. Como $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$, puedes reducir los exponentes módulo $p-1$. Por ejemplo, para calcular $2^{100} \pmod{13}$, simplemente puedes fijarte en el exponente $100$ módulo $12$. Además, el Pequeño Teorema de Fermat te da un método estándar para encontrar inversos modulares; como $a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod{p}$, el inverso modular de $a$ es simplemente $a^{p-2}$.

La intuición