(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n.
La suma módulo $n$ es una operación fundamental en la aritmética modular que extiende la suma de enteros común a un sistema finito de residuos. Cuando calculas $(a + b) \pmod n$, básicamente estás buscando el residuo de la suma $a + b$ al dividirla entre $n$. La propiedad más poderosa de esta operación es que es compatible con las congruencias: el residuo de una suma depende solo de los residuos de los sumandos, no de los sumandos mismos. Esto te permite reemplazar cualquier número en una suma por su residuo módulo $n$ antes de sumar, sin cambiar el resultado final.
Este concepto es clave en las matemáticas de competencia, particularmente en el AMC 10 y 12, porque permite simplificar cálculos que involucran números muy grandes. En lugar de hacer cuentas con enteros grandísimos y reducir el resultado al puro final, puedes reducir los números módulo $n$ en cada paso del cálculo. Esto mantiene los números pequeños y fáciles de manejar. Por ejemplo, encontrar la última cifra de una suma enorme es simplemente hacer una suma módulo $10$.
Intuitivamente, la suma módulo $n$ la puedes visualizar como "aritmética de reloj". Si $n=12$, sumar números corresponde a moverse en el sentido de las manecillas del reloj. Si empiezas en el 9 y sumas 5 horas, llegas al 2 (ya que $9+5=14$, y $14 \equiv 2 \pmod{12}$). Esta naturaleza cíclica implica que sumar múltiplos de $n$ funciona como una operación identidad: te regresa a la misma posición en el "reloj", sumando efectivamente cero.
La propiedad fundamental de la suma modular dice que si dos números son congruentes a sus residuos, su suma es congruente a la suma de esos residuos.
Propiedad Básica de Congruencia: Si $a \equiv c \pmod n$ y $b \equiv d \pmod n$, entonces: $$a + b \equiv c + d \pmod n$$
Fórmula del Operador: Si la escribes usando el operador módulo (donde $x \pmod n$ representa el residuo), la identidad es: $$(a + b) \pmod n = ((a \pmod n) + (b \pmod n)) \pmod n$$
Extensión a Sumatorias: Esta propiedad se extiende a cualquier cantidad de términos. Para los enteros $a_1, a_2, \dots, a_k$: $$\left(\sum_{i=1}^k a_i\right) \pmod n = \left(\sum_{i=1}^k (a_i \pmod n)\right) \pmod n$$
Resta Modular: Como la resta es simplemente sumar un inverso aditivo, la regla aplica de forma similar: $$(a - b) \pmod n = ((a \pmod n) - (b \pmod n)) \pmod n$$ Nota: Si el resultado de la resta es negativo, normalmente sumas $n$ para obtener el residuo positivo estándar.
Aquí está la demostración de la identidad $(a + b) \pmod n = ((a \pmod n) + (b \pmod n)) \pmod n$.
Paso 1: Definiciones Por la definición del operador módulo (que viene del algoritmo de la división de Euclides), para cualquier entero $x$ y cualquier entero positivo $n$, puedes escribir: $$x = q_x n + r_x$$ donde $q_x$ es el cociente y $r_x$ es el residuo, tal que $0 \le r_x < n$. En esta notación, $r_x = x \pmod n$.
Aplica esto a los enteros $a$ y $b$: $$a = q_a n + (a \pmod n)$$ $$b = q_b n + (b \pmod n)$$
Paso 2: Suma Ahora, suma las expresiones para $a$ y $b$: $$a + b = (q_a n + (a \pmod n)) + (q_b n + (b \pmod n))$$
Puedes reacomodar los términos para agrupar los múltiplos de $n$: $$a + b = (q_a + q_b)n + ((a \pmod n) + (b \pmod n))$$
Paso 3: Aplicar el módulo Ahora saca el módulo $n$ en ambos lados. Usa el hecho de que para cualquier entero $k$, $(kn + z) \pmod n = z \pmod n$. En este caso, toma $k = (q_a + q_b)$ y $z = (a \pmod n) + (b \pmod n)$.
$$(a + b) \pmod n = \left[ (q_a + q_b)n + ((a \pmod n) + (b \pmod n)) \right] \pmod n$$
Como $(q_a + q_b)n$ es un múltiplo de $n$, deja un residuo de 0. Por lo tanto, el residuo de toda la suma depende totalmente del término que sobra:
$$(a + b) \pmod n = ((a \pmod n) + (b \pmod n)) \pmod n$$
$\square$