x = x₀ + (b/d)t, y = y₀ - (a/d)t.
La solución paramétrica es el método general para caracterizar el conjunto completo de soluciones enteras de una ecuación diofántica lineal de la forma $ax + by = c$. Aunque el Extended Euclidean Algorithm te permite encontrar una sola solución particular $(x_0, y_0)$, las ecuaciones diofánticas lineales suelen tener infinitas soluciones. La forma paramétrica expresa todas las soluciones posibles en términos de un parámetro entero, que normalmente vas a escribir como $t$ o $k$.
Esta técnica es fundamental en las competencias de teoría de números porque encontrar una sola solución rara vez es el objetivo final. Los problemas suelen pedir el número de soluciones enteras positivas, la solución con el valor de $x$ positivo más pequeño, o soluciones que cumplan con desigualdades específicas. Al convertir las variables $x$ y $y$ en funciones lineales de $t$, vas a transformar las restricciones complejas sobre $x$ y $y$ en desigualdades simples que involucran a $t$, lo que hace que el problema se pueda resolver algebraicamente.
Geométricamente, la ecuación $ax + by = c$ representa una recta en el plano cartesiano. Las soluciones enteras corresponden a los "puntos de la red" (lattice points) que están exactamente sobre esta recta. La solución paramétrica usa la pendiente de la recta, $m = -a/b$. Para moverte de un punto de la red al siguiente, tienes que moverte a lo largo de la recta con un "cambio vertical" y uno "horizontal" que correspondan a la pendiente reducida a su mínima expresión. Esta intuición te explica por qué los coeficientes del parámetro $t$ se derivan de $a$ y $b$ divididos entre su máximo común divisor.
Dada una ecuación diofántica lineal: $$ax + by = c$$ donde $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Sea $d = \gcd(a, b)$. La ecuación tiene soluciones si y solo si $d \mid c$.
Si $(x_0, y_0)$ es una solución entera particular de la ecuación, entonces la solución paramétrica general está dada por: $$x = x_0 + \frac{b}{d}t$$ $$y = y_0 - \frac{a}{d}t$$ donde $t \in \mathbb{Z}$ es un parámetro entero arbitrario.
Caso Especial: Coeficientes Primos Relativos Si $\gcd(a, b) = 1$, entonces $d=1$, y las fórmulas se simplifican a: $$x = x_0 + bt$$ $$y = y_0 - at$$
Teorema: Sean $a, b, c$ enteros con $d = \gcd(a, b)$. Si $d \mid c$ y $(x_0, y_0)$ es una solución particular de $ax + by = c$, entonces el conjunto de todas las soluciones está dado por $x = x_0 + \frac{b}{d}t$ y $y = y_0 - \frac{a}{d}t$ para $t \in \mathbb{Z}$.
Demostración: La demostración consiste en dos partes: mostrar que estas fórmulas dan soluciones (suficiencia) y mostrar que cualquier solución debe tener esta forma (necesidad).
Parte 1: Suficiencia Sustituye las formas propuestas de $x$ y $y$ en la ecuación original: $$a\left(x_0 + \frac{b}{d}t\right) + b\left(y_0 - \frac{a}{d}t\right) = ax_0 + a\frac{b}{d}t + by_0 - b\frac{a}{d}t$$ Reacomodando los términos: $$= (ax_0 + by_0) + \left(\frac{ab}{d}t - \frac{ab}{d}t\right)$$ Como $(x_0, y_0)$ es una solución, $ax_0 + by_0 = c$. Los términos que tienen $t$ se cancelan: $$= c + 0 = c$$ Así, las fórmulas generan soluciones válidas para cualquier entero $t$.
Parte 2: Necesidad Supón que $(x, y)$ es cualquier solución entera arbitraria de $ax + by = c$. También tienes la solución particular $ax_0 + by_0 = c$. Restando la segunda ecuación de la primera: $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$ $$a(x - x_0) = -b(y - y_0)$$ Divide ambos lados entre $d = \gcd(a, b)$. Sean $a = da'$ y $b = db'$. Nota que $\gcd(a', b') = 1$. $$da'(x - x_0) = -db'(y - y_0)$$ $$a'(x - x_0) = -b'(y - y_0)$$ De esta ecuación, puedes ver que $b'$ divide al lado izquierdo, así que $b' \mid a'(x - x_0)$. Como $\gcd(a', b') = 1$, por el Euclid's Lemma, tiene que ser cierto que $b' \mid (x - x_0)$. Por lo tanto, existe un entero $t$ tal que: $$x - x_0 = b't \implies x = x_0 + b't = x_0 + \frac{b}{d}t$$ Sustituye $x - x_0 = \frac{b}{d}t$ de regreso en la ecuación $a(x - x_0) = -b(y - y_0)$: $$a\left(\frac{b}{d}t\right) = -b(y - y_0)$$ $$\frac{ab}{d}t = -b(y - y_0)$$ Dividiendo entre $-b$ (suponiendo que $b \neq 0$): $$-\frac{a}{d}t = y - y_0 \implies y = y_0 - \frac{a}{d}t$$ Así, cualquier solución entera $(x, y)$ se puede representar en la forma paramétrica que quedó establecida. $\square$