Cómo sacar todas las soluciones de una sola.
La Fórmula de la Solución General te da un método para describir cada posible solución entera de una ecuación diofántica lineal de la forma $ax + by = c$, donde $a, b, c$ son enteros. Aunque encontrar una sola solución $(x_0, y_0)$ —que a menudo logras con el Extended Euclidean Algorithm o por inspección— es un primer paso necesario, casi nunca es el final del problema. En las olimpiadas de matemáticas, es común que las preguntas te pidan el número de soluciones positivas, la solución con la $x$ positiva más pequeña o la solución más cercana a un valor específico. Para responder esto, tienes que ser capaz de generar todo el conjunto de soluciones a partir de esa solución particular inicial.
Geométricamente, la ecuación $ax + by = c$ representa una línea recta en el plano cartesiano. Resolver esta ecuación diofántica es equivalente a encontrar todos los "puntos reticulares" (puntos con coordenadas enteras) que están sobre esta línea. Como la pendiente de la línea es racional ($-a/b$), si existe un punto reticular, hay infinitos otros espaciados a intervalos regulares. La Fórmula de la Solución General parametriza estos puntos usando una variable entera $t$, lo que básicamente traduce el problema de buscar coordenadas a un análisis de una progresión aritmética.
La idea clave depende del máximo común divisor, $d = \gcd(a,b)$. Para que existan soluciones enteras, $d$ tiene que dividir a $c