aⁿ - bⁿ tiene un divisor primo primitivo.
El Teorema de Zsigmondy es un resultado fundamental en la teoría de números que describe la factorización prima de sucesiones de la forma $a^n - b^n$. Específicamente, te garantiza que existe un "divisor primo primitivo" para casi todos los términos de esa sucesión. Un divisor primo primitivo de $a^n - b^n$ es un número primo $p$ que divide a $a^n - b^n$ pero no divide a $a^k - b^k$ para ningún entero positivo $k < n$. Si lo piensas desde la aritmética modular, esto es lo mismo que decir que el orden multiplicativo de $a/b$ módulo $p$ es exactamente $n$.
Este teorema es una herramienta poderosísima para resolver ecuaciones diofánticas, sobre todo las exponenciales que involucran sumas o diferencias de potencias. En competencias de matemáticas como la USAMO o la IMO, lo puedes usar seguido para sacar contradicciones sobre las propiedades de divisibilidad de los enteros. Por ejemplo, si un problema te pide que $a^n - b^n$ tenga un conjunto específico de factores primos, el Teorema de Zsigmondy impone una restricción muy fuerte: conforme $n$ crece, tienen que aparecer nuevos factores primos, lo que evita que la sucesión recicle el mismo conjunto pequeño de divisores primos indefinidamente.
La idea detrás del teorema viene de las propiedades de los polinomios ciclotómicos