aⁿ - bⁿ tiene un divisor primo primitivo.
El Teorema de Zsigmondy es un resultado muy potente en teoría de números que trata sobre la factorización prima de sucesiones de la forma $a^n - b^n$. Específicamente, te habla sobre la existencia de divisores primos primitivos. Dices que un número primo $p$ es un divisor primo primitivo de $a^n - b^n$ si $p$ divide a $a^n - b^n$, pero $p$ no divide a $a^k - b^k$ para ningún entero positivo $k < n$. Si lo ves desde el lenguaje de la aritmética modular, esto es lo mismo que decir que el orden multiplicativo de $a/b$ módulo $p$ es exactamente $n$.
El teorema te dice que para cualesquiera enteros coprimos $a > b \ge 1$, el número $a^n - b^n$ tiene al menos un divisor primo primitivo para casi cualquier $n$. Este resultado es clave para resolver ecuaciones diofánticas de alto nivel, sobre todo las que tienen términos exponenciales. Te permite asegurar que existe un factor primo "nuevo" que no ha aparecido antes en la sucesión, lo que muchas veces te lleva a contradicciones cuando las variables están limitadas a un conjunto finito de primos.
Intuitivamente, conforme $n$ aumenta, el valor $a^n - b^n$ crece muy rápido. El Teorema de Zsigmondy te confirma que este crecimiento no es solo por rec