Cuando n es impar.
El Lema de Elevación del Exponente (LTE) es una herramienta súper potente en teoría de números que sirve para determinar la potencia de un primo $p$ que divide a una expresión de la forma $a^n \pm b^n$. Aunque la forma estándar se encarga de la diferencia $a^n - b^n$, la versión para la suma $a^n + b^n$ es igual de importante en las olimpiadas de matemáticas. Esta variación aplica específicamente cuando el exponente $n$ es un entero impar. Si $n$ fuera par, $a^n + b^n$ generalmente no sería divisible entre $a+b$, lo que haría que el lema no se pueda aplicar de la forma usual.
Esta técnica es esencial para resolver ecuaciones diofánticas exponenciales y problemas de divisibilidad donde necesitas controlar la "profundidad" de los factores primos. La idea fundamental de LTE es que la valuación (el exponente del primo en la factorización de primos) se comporta de forma parecida a un logaritmo. Te permite descomponer la valuación de una potencia, $v_p(a^n + b^n)$, en la suma de la valuación de la base, $v_p(a+b)$, y la valuación del exponente, $v_p(n)$.
Para que el lema funcione, se tienen que cumplir ciertas condiciones: $p$ tiene que ser un primo impar, $p$ debe dividir a la suma de las bases $a+b$, pero $p$ no debe dividir a $a$ ni a $b$ por separado. La restricción de que $n$ sea impar es necesaria porque la factorización algebraica $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ solo es válida en los enteros cuando $n$ es impar.
Usa $v_p(x)$ para denotar el exponente de la potencia más alta de $p$ que divide a $x$ (a esto también le decimos la valuación p-ádica de $x$).
Teorema (LTE para Sumas): Supón que $p$ es un primo impar, $n$ es un entero positivo impar, y $a, b$ son enteros tales que:
Entonces se cumple la siguiente igualdad: $$v_p(a^n + b^n) = v_p(a + b) + v_p(n)$$
Caso Especial ($p=2$): Aunque la fórmula general de LTE es para primos impares, si $p=2$, $n$ es impar, y $a, b$ son enteros impares (así que $2 \mid a+b$), la relación se simplifica a: $$v_2(a^n + b^n) = v_2(a + b)$$ (Nota: El término $v_2(n)$ desaparece o, mejor dicho, no se suma porque el segundo factor en la expansión es impar).
Aquí tienes la demostración del teorema para la suma $a^n + b^n$ reduciéndolo al caso estándar de LTE para diferencias ($x^n - y^n$).
Requisitos previos: Recuerda el Lema de Elevación del Exponente estándar para diferencias. Si $p$ es un primo impar tal que $p \mid (x-y)$, $p \nmid x$, $p \nmid y$, entonces: $$v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + v_p(n)$$
Demostración para el caso de la suma: Toma un primo impar $p$ y un entero positivo impar $n$. Sabes que $p \mid (a+b)$, $p \nmid a$, y $p \nmid b$.
Paso 1: Sustitución La idea es transformar $a^n + b^n$ en una forma que se parezca a $x^n - y^n$. Toma $x = a$ y $y = -b$.
Paso 2: Analizando el exponente Como $n$ es un entero impar, la potencia de un número negativo mantiene el signo: $$y^n = (-b)^n = (-1)^n b^n = -b^n$$ Por lo tanto: $$x^n - y^n = a^n - (-b^n) = a^n + b^n$$
Paso 3: Verificando las condiciones Hay que verificar que $x$ y $y$ cumplen las condiciones para el lema LTE estándar:
Paso 4: Aplicando el lema Como se cumplen todas las condiciones, aplica la fórmula estándar de LTE a $x^n - y^n$: $$v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + v_p(n)$$
Sustituye tus variables originales de vuelta en la ecuación: $$v_p(a^n - (-b)^n) = v_p(a - (-b)) + v_p(n)$$ $$v_p(a^n + b^n) = v_p(a + b) + v_p(n)$$
Con esto terminas la demostración. $\square$