N(αβ) = N(α)N(β).
El concepto de que la "Norma es Multiplicativa" es una propiedad fundamental de los enteros de Gauss ($\mathbb{Z}[i]$) y otros cuerpos de números algebraicos. Para un entero de Gauss $z = a+bi$, defines la norma como $N(z) = a^2 + b^2$. La propiedad multiplicativa dice que para cualquier par de enteros de Gauss $\alpha$ y $\beta$, la norma de su producto es igual al producto de sus normas: $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$. Esta propiedad básicamente conecta la aritmética del plano complejo con la aritmética de los enteros ordinarios ($\mathbb{Z}$).
Esta propiedad es crucial en teoría de números porque te permite transformar problemas de divisibilidad y factorización en $\mathbb{Z}[i]$ en problemas sobre enteros en $\mathbb{Z}$, que suelen ser más fáciles de resolver. Por ejemplo, si un entero de Gauss $\alpha$ divide a $\beta$, entonces el entero $N(\alpha)$ tiene que dividir al entero $N(\beta)$. Esto te da una condición necesaria para la divisibilidad que sirve como un filtro muy potente en ecuaciones diofánticas y problemas de olimpiada.
Intuitivamente, la norma corresponde al cuadrado de la distancia euclidiana desde el origen hasta el punto $z$ en el plano complejo. Como la magnitud del producto de números complejos es el producto de sus magnitudes ($|zw| = |z||w|$), es natural que el cuadrado de las magnitudes (las normas)