N(a+bi) = a² + b².
Los enteros de Gauss, que escribimos como $\mathbb{Z}[i]$, son el conjunto de números complejos de la forma $a+bi$ donde $a$ y $b$ son enteros. La norma de un entero de Gauss es una función $N: \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}_{\ge 0}$ que definimos como $N(a+bi) = a^2 + b^2$. Geométricamente, esto representa el cuadrado de la distancia desde el origen hasta el punto $(a,b)$ en el plano complejo. A diferencia de la función de valor absoluto en el análisis complejo, la norma de los enteros de Gauss no lleva raíz cuadrada, lo que asegura que el resultado siempre sea un entero no negativo.
La norma es una herramienta fundamental en la teoría algebraica de números porque mapea la estructura compleja de $\mathbb{Z}[i]$ a la estructura familiar de los enteros racionales $\mathbb{Z}$. Este mapeo te permite investigar propiedades de los enteros de Gauss —como la divisibilidad, las unidades y la primalidad— analizando enteros comunes. Por ejemplo, para encontrar las unidades (elementos invertibles) de $\mathbb{Z}[i]$, solo tienes que resolver $N(z) = 1$ en los enteros. Además, como $\mathbb{Z}[i]$ es un dominio euclidiano, la norma sirve como la valuación euclidiana, lo que te permite aplicar el algoritmo de Euclides en enteros complejos para encontrar máximos comunes divisores.