Matrices de transferencia y recursiones.
Contar pavimentaciones con dominós consiste en determinar de cuántas formas puedes cubrir una cuadrícula de $m \times n$ completamente con dominós de $2 \times 1$, de tal manera que no se traslapen y ninguna parte de un dominó quede fuera de la cuadrícula. Este problema conecta la geometría con la combinatoria y el álgebra lineal. Para cuadrículas pequeñas o angostas (como las de $2 \times n$), puedes resolver el problema seguido usando relaciones de recurrencia lineales, que famosamente resultan en la sucesión de Fibonacci. La intuición principal es analizar el "perfil" del borde entre la parte ya cubierta y la parte vacía de la cuadrícula. Al categorizar las formas posibles de este borde, puedes definir estados y transiciones entre ellos.
Para cuadrículas más anchas o formas más complejas, el método de Matrices de Transferencia generaliza el enfoque de la recursión. Una matriz de transferencia $M$ describe cómo el número de formas de cubrir hasta la columna $k$ se relaciona con el número de formas de cubrir hasta la columna $k+1$, basándose en la configuración del borde. El número de pavimentaciones para una cuadrícula de longitud $n$ lo puedes expresar muchas veces en términos de los eigenvalores de esta matriz, específicamente como la entrada $(1,1)$ de $M^n$. Esta técnica es muy potente porque transforma un problema de conteo en uno algebraico, permitiendo resolver cuadrículas de $m