F₁ + F₂ + ... + Fₙ = F(n+2) - 1.
La Fórmula de la Suma de Fibonacci es una identidad fundamental en combinatoria que usa la sucesión de Fibonacci, donde la sucesión sigue la regla $F_1 = 1, F_2 = 1$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n \ge 3$. Esta fórmula te dice que la suma de los primeros $n$ números de Fibonacci es igual al número de Fibonacci $(n+2)$-ésimo menos 1. Esta identidad convierte un problema de sumatoria —que básicamente te obligaría a calcular cada término hasta $n$— en una evaluación directa de un solo término más adelante en la sucesión.
En las olimpiadas de matemáticas, como el AMC y el AIME, esta identidad es clave para simplificar series complejas. Representa un caso específico de una "suma telescópica", una técnica donde los términos de una serie se van cancelando entre sí y solo te quedan los términos de los extremos. Si te das cuenta de que puedes reacomodar la definición recursiva de la sucesión de Fibonacci ($F_n = F_{n+2} - F_{n+1}$) para expresar un término como la resta de los términos que siguen, ya tienes la intuición clave para este resultado. Puedes extender este concepto para encontrar sumas de números de Fibonacci con índices impares, pares o con signos alternados.
Toma la sucesión de Fibonacci definida por $F_1 = 1$, $F_2 = 1$ y $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$.
La suma de los primeros $n$ números de Fibonacci es: $$ \sum_{i=1}^n F_i = F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1 $$
Si incluyes $F_0 = 0$ en la suma, la fórmula sigue siendo válida: $$ \sum_{i=0}^n F_i = F_{n+2} - 1 $$
Puedes demostrar esta identidad usando el método de sumas telescópicas. Este método suele ser más útil que la inducción matemática porque obtienes la fórmula directamente de la definición recursiva de la sucesión.
Paso 1: Reacomoda la relación de recurrencia Recuerda la definición de la sucesión de Fibonacci: $$ F_{k+2} = F_{k+1} + F_k $$ Puedes reacomodar esto para despejar $F_k$: $$ F_k = F_{k+2} - F_{k+1} $$
Paso 2: Expresa la suma usando la relación que reacomodaste Lo que quieres es calcular la suma $S_n = \sum_{i=1}^n F_i$. Sustituye la identidad del Paso 1 en la sumatoria: $$ S_n = \sum_{i=1}^n (F_{i+2} - F_{i+1}) $$
Paso 3: Desarrolla la suma para ver las cancelaciones Escribe los términos de la suma de forma explícita: $$ \begin{aligned} S_n &= (F_3 - F_2) \ &+ (F_4 - F_3) \ &+ (F_5 - F_4) \ &+ \dots \ &+ (F_{n+1} - F_n) \ &+ (F_{n+2} - F_{n+1}) \end{aligned} $$
Paso 4: Cancela los términos (Efecto telescópico) Observa el patrón de cancelación. La parte positiva del primer término ($F_3$) se cancela con la parte negativa del segundo término ($-F_3$). El $F_4$ positivo se cancela con el $-F_4$ negativo, y así sucesivamente. Solo sobreviven la parte negativa del primer término ($-F_2$) y la parte positiva del último ($F_{n+2}$).
Así, la suma se simplifica a: $$ S_n = F_{n+2} - F_2 $$
Paso 5: Sustitución final Como $F_2 = 1$, sustituye este valor para obtener el resultado final: $$ \sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1 $$
$\square$