F(n-1)F(n+1) - F(n)² = (-1)ⁿ.
La identidad de Cassini es una relación fundamental entre números de Fibonacci consecutivos. Dice que para cualquier entero positivo $n$, el producto de dos números de Fibonacci que son "vecinos" de $F_n$ difiere de $F_n^2$ por exactamente 1, y el signo va cambiando según la paridad de $n$.
Esta identidad es sorprendente porque muestra que los números de Fibonacci consecutivos están "casi" en progresión geométrica; el producto $F_{n-1} \cdot F_{n+1}$ siempre está a una distancia de 1 de $F_n^2$.
Identidad de Cassini: $$F_{n-1} \cdot F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$$
Formas equivalentes:
Generalización (Identidad de d'Ocagne): $$F_m \cdot F_{n+1} - F_{m+1} \cdot F_n = (-1)^n F_{m-n}$$
La identidad de Cassini es el caso especial donde $m = n - 1$.
Demostración por inducción:
Caso base: Para $n = 1$: $$F_0 \cdot F_2 - F_1^2 = 0 \cdot 1 - 1^2 = -1 = (-1)^1 \checkmark$$
Paso inductivo: Supón que la identidad es cierta para $n = k$: $$F_{k-1} \cdot F_{k+1} - F_k^2 = (-1)^k$$
Lo que hay que demostrar es que también funciona para $n = k + 1$: $$F_k \cdot F_{k+2} - F_{k+1}^2 = (-1)^{k+1}$$
Usando $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$: $$F_k \cdot F_{k+2} - F_{k+1}^2 = F_k(F_{k+1} + F_k) - F_{k+1}^2$$ $$= F_k \cdot F_{k+1} + F_k^2 - F_{k+1}^2$$ $$= F_k^2 - F_{k+1}(F_{k+1} - F_k)$$ $$= F_k^2 - F_{k+1} \cdot F_{k-1}$$ $$= -(F_{k-1} \cdot F_{k+1} - F_k^2)$$ $$= -(-1)^k = (-1)^{k+1} \checkmark$$
Demostración con el método de matrices:
Define la matriz de Fibonacci $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Puedes ver que $M^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$.
Si tomas los determinantes: $$\det(M^n) = (\det M)^n = (-1)^n$$
Pero también: $$\det(M^n) = F_{n+1} \cdot F_{n-1} - F_n^2$$
Por lo tanto: $F_{n-1} \cdot F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$. $\square$