Problemas de mosaicos y composiciones.
El conteo de Fibonacci es una técnica combinatoria muy potente que sirve para resolver problemas de sucesiones, mosaicos o arreglos donde la construcción de un estado válido depende de los estados anteriores inmediatos. El principio central consiste en establecer una relación de recurrencia lineal. Si un problema te pide el número de formas de acomodar objetos de tamaño 1 y 2 (como cubrir un tablero o subir escalones), puedes dividir la solución para el tamaño $n$ en dos casos que no se traslapan, basándote en el último elemento que agregaste: o agregaste un elemento de tamaño 1 a un arreglo válido de tamaño $n-1$, o agregaste uno de tamaño 2 a un arreglo válido de tamaño $n-2$.
Esta técnica es básica en las matemáticas de competencia porque transforma problemas de conteo complejos en la conocida sucesión de Fibonacci ($F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$). En lugar de intentar enlistar todas las permutaciones o usar coeficientes multinomiales complicados, puedes identificar la estructura recursiva, checar los casos base y determinar de volada que la respuesta es un número de Fibonacci específico. Este enfoque funciona para varios escenarios, como cubrir tableros de $1 \times n$ con cuadrados y dominós, formar composiciones de enteros usando solo 1s y 2s, y elegir subconjuntos de elementos donde no haya dos adyacentes.
La intuición clave es el "análisis del último paso"