Caminos de (0,0) a (2n,0) por encima del eje x.
Un camino de Dyck de semilongitud $n$ es un camino de red en el plano cartesiano que va desde $(0,0)$ hasta $(2n,0)$ y está hecho de pasos $U = (1,1)$ (arriba) y $D = (1,-1)$ (abajo), de manera que el camino nunca baje del eje x. Dicho de otra forma, para cualquier punto $(x,y)$ en el camino, verás que $y \ge 0$. Como el camino tiene que regresar al eje x en $x=2n$, tiene que haber exactamente $n$ pasos hacia arriba y $n$ pasos hacia abajo. Los caminos de Dyck son la interpretación geométrica fundamental de los números de Catalan.
Este concepto aparece por todos lados en la combinatoria porque muchas estructuras que parecen no tener nada que ver las puedes relacionar de forma biyectiva con los caminos de Dyck. Por ejemplo, un camino de Dyck puede representar un acomodo válido de $n$ pares de paréntesis (donde $U$ es un paréntesis que abre y $D$ uno que cierra), la triangulación de un polígono convexo con $n+2$ vértices, o el orden específico en el que puedes meter y sacar elementos de una pila (stack). En problemas de Olimpiada, si logras reconocer que una estructura es en realidad un camino de Dyck disfrazado, puedes aplicar directamente la fórmula de los números de Catalan en lugar de andar contando casos a mano.
La intuición clave para contar caminos de Dyck