D_n ≈ n!/e.
Un desarreglo de $n$ elementos, que escribimos como $D_n$ o $!n$, es una permutación del conjunto ${1, 2, \dots, n}$ tal que ningún elemento aparece en su posición original (o sea, no hay puntos fijos). Aunque puedes calcular el valor exacto de $D_n$ usando el Principio de Inclusión-Exclusión o relaciones de recurrencia, estos métodos pueden ser muy pesados cuando $n$ es grande. La Aproximación de Desarreglos te da un resultado asintótico muy potente: conforme $n$ aumenta, el número de desarreglos se acerca a $n!/e$. Por lo tanto, la probabilidad de que una permutación aleatoria sea un desarreglo se acerca a $1/e \approx 0.3679$.
Esta aproximación es súper importante en las olimpiadas de matemáticas porque la convergencia es extremadamente rápida. La relación no es solo asintótica; es tan precisa que para cualquier $n \ge 1$, $D_n$ es estrictamente el entero más cercano a $n!/e$. Esto te permite calcular $D_n$ al instante sin tener que sumar series o usar recursiones, siempre y cuando puedas estimar $n!/e$.
La intuición detrás de este resultado viene de la expansión en serie de Taylor de $e^x$. La fórmula exacta para los desarreglos que sale de Inclusión-Exclusión es una