La fórmula Dn = n!(1 - 1/1! + 1/2! - ...).
Un desarreglo de un conjunto de $n$ elementos distintos es una permutación $\sigma$ del conjunto donde ningún elemento aparece en su posición original. De forma más formal, si el conjunto es ${1, 2, \dots, n}$, un desarreglo es una biyección $\sigma: {1, \dots, n} \to {1, \dots, n}$ tal que $\sigma(i) \neq i$ para todo $i$. Al número de desarreglos de un conjunto de tamaño $n$ lo escribimos como $D_n$, $!n$ (el subfactorial), o a veces $d_n$.
El concepto de desarreglos es una aplicación fundamental del Principio de Inclusión-Exclusión (PIE). Lo usas para resolver el "Problema de los Sombreros", que pregunta cuál es la probabilidad de que nadie reciba su propio sombrero si regresas $n$ sombreros al azar a $n$ personas. Aunque contar el total de permutaciones ($n!$) es trivial, contar permutaciones con restricciones específicas (sin puntos fijos) requiere que restes las permutaciones con al menos un punto fijo, sumes de nuevo las que tienen al menos dos, y así sucesivamente.
Un dato importante sobre los desarreglos es su comportamiento asintótico. Conforme $n$ tiende a infinito, la probabilidad de que una permutación aleatoria sea un desarreglo se acerca a $1/e$. Esta convergencia es súper