xA'(x) desplaza y multiplica por n.
La diferenciación es una herramienta súper potente que puedes aplicar a las Funciones Generatrices Ordinarias (OGF) para manipular los coeficientes de una sucesión basándote en su índice. Aunque las operaciones algebraicas normales, como la suma y la multiplicación, te dejan combinar sucesiones o calcular convoluciones, la diferenciación es la pieza clave cuando los coeficientes tienen factores polinomiales del índice $n$. Básicamente, la operación de derivar una función generatriz y luego multiplicarla por $x$ transforma una sucesión con términos $a_n$ en una nueva sucesión con términos $n a_n$.
Esta técnica es fundamental en la enumeración combinatoria y en la teoría de probabilidad. Se usa mucho para evaluar sumas del tipo $\sum n a_n$ o $\sum n^2 a_n$, para resolver relaciones de recurrencia con coeficientes que no son constantes (como las que aparecen al analizar algoritmos o desarreglos), y para calcular el valor esperado de variables aleatorias definidas por funciones generatrices de probabilidad. Si aplicas el operador de diferenciación varias veces, puedes lidiar con coeficientes que involucren cualquier polinomio en $n$.
La idea viene de la regla de la potencia del cálculo: $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$. La derivada baja el exponente y lo convierte en un coeficiente. Sin embargo, esto reduce la potencia de $x$ en uno. Para que la potencia de $x$ vuelva a quedar igual que el índice del coeficiente, solo tienes que multiplicar el resultado por $x$. Esta combinación de operaciones, que a veces se escribe como el operador $xD$, mapea el término $a_n x^n$ a $n a_n x^n$, lo que en esencia "pesa" cada término según su posición en la sucesión.
Imagina que $A(x)$ es la función generatriz ordinaria para la sucesión $(a_n){n \ge 0}$: $$A(x) = \sum{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
La Primera Derivada: $$A'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n$$
El Operador "Multiplicar por n" ($xD$): Si multiplicas la derivada por $x$, regresas las potencias a su lugar original, lo que hace que los coeficientes se multipliquen por su índice $n$: $$x A'(x) = x \frac{d}{dx} A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n$$
Derivadas de Orden Superior: Si aplicas esto repetidamente, puedes multiplicar por potencias de $n$. Si $D = \frac{d}{dx}$, entonces $(xD)^k$ aplica la operación $k$ veces: $$(xD)^k A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n^k a_n x^n$$
Aplicaciones Comunes: Si aplicas esto a la serie geométrica $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$: $$\frac{x}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} n x^n$$ $$\frac{x(1+x)}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n$$
Si lo aplicas a la expansión binomial $(1+x)^r = \sum \binom{r}{n} x^n$: $$rx(1+x)^{r-1} = \sum_{n=0}^{\infty} n \binom{r}{n} x^n$$
Teorema: Si $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, entonces $x A'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n$.
Demostración:
Toma una serie de potencias $A(x)$ definida así: $$A(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
Supón que $x$ está dentro del radio de convergencia de la serie. En ese intervalo, puedes derivar la serie de potencias término a término. Aplica el operador de derivada $\frac{d}{dx}$ en ambos lados:
$$A'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right)$$
$$A'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} (a_n x^n)$$
Usando la regla de la potencia $\frac{d}{dx} (c x^n) = c n x^{n-1}$:
$$A'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot n x^{n-1}$$
Fíjate que para el término $n=0$, el factor $n$ es 0, así que ese término desaparece. Puedes ajustar el límite inferior de la suma a $n=1$:
$$A'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$$
Para que el exponente de $x$ vuelva a coincidir con el índice $n$ del coeficiente $a_n$, multiplica ambos lados de la ecuación por $x$:
$$x A'(x) = x \cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \right)$$
Distribuye la $x$ dentro de la suma:
$$x A'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x \cdot x^{n-1})$$
$$x A'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n$$
Como el término para $n=0$ es $0 \cdot a_0 \cdot x^0 = 0$, puedes incluir $n=0$ otra vez en la suma sin que cambie el valor:
$$x A'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n$$
Así, el operador $x \frac{d}{dx}$ transforma la función generatriz de $a_n$ en la función generatriz de $n a_n$.
$\square$