Si A tiene m opciones y B tiene n, el total es m × n.
El Principio de la Multiplicación, también conocido como el Principio Fundamental del Conteo o la Regla del Producto, es la piedra angular de la combinatoria. Dice que si puedes dividir un proceso en una secuencia de etapas independientes, el número total de formas de completar todo el proceso es el producto del número de formas de realizar cada etapa por separado. Específicamente, si una tarea consiste en dos pasos, donde el primer paso lo puedes hacer de $m$ formas y el segundo de $n$ formas (sin importar qué elegiste en el primero), entonces toda la tarea se puede hacer de $m \times n$ formas.
Este principio es esencial porque te permite contar arreglos complejos sin tener que enlistar cada una de las posibilidades. Transforma problemas de conteo difíciles en una serie de decisiones más pequeñas y fáciles de manejar. Es la lógica detrás del cálculo de permutaciones (ordenar objetos), combinaciones (seleccionar grupos) y probabilidades. El principio no solo aplica para dos pasos, sino que se extiende a cualquier número de pasos que sigas uno tras otro.
La idea clave detrás del Principio de la Multiplicación es el concepto de "ramificación". Puedes imaginar el proceso como un diagrama de árbol: la primera elección crea $m$ ramas. Desde el final de cada una de esas $m$ ramas, salen $n$ nuevas ramas para la segunda elección. Esto da como resultado un total de $m$ grupos de $n$ hojas. En las olimpiadas de matemáticas, este principio se usa normalmente cuando las opciones están conectadas por el conector lógico "Y" (por ejemplo, elegir una camisa Y elegir un pantalón), mientras que el Principio de la Suma se usa para opciones que no pueden ocurrir al mismo tiempo, conectadas por un "O".
El Principio de la Multiplicación Básico Si puedes realizar una operación $A$ de $m$ formas, y para cada una de estas formas, puedes realizar una segunda operación independiente $B$ de $n$ formas, entonces las dos operaciones se pueden realizar juntas de: $$ N = m \times n $$
El Principio de la Multiplicación General Si un procedimiento se puede dividir en $k$ etapas seguidas, donde la etapa $i$ tiene $n_i$ resultados posibles, el número total de resultados es el producto de las posibilidades de cada etapa: $$ N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k = \prod_{i=1}^{k} n_i $$
Formulación de Teoría de Conjuntos (Producto Cartesiano) Si $S_1, S_2, \dots, S_k$ son conjuntos finitos que representan las opciones en cada etapa, el conjunto de todos los resultados posibles es el producto cartesiano $S_1 \times S_2 \times \dots \times S_k$. El tamaño (cardinalidad) de este conjunto es: $$ |S_1 \times S_2 \times \dots \times S_k| = |S_1| \cdot |S_2| \cdots |S_k| $$
Teorema: Si una tarea consiste en dos pasos independientes, donde el paso 1 tiene $m$ opciones y el paso 2 tiene $n$ opciones, el número total de resultados únicos es $m \times n$.
Demostración: Imagina que $A$ es el conjunto de opciones para el primer paso, tal que $|A| = m$. Puedes escribir los elementos de $A$ como: $$ A = {a_1, a_2, \dots, a_m} $$
Ahora, sea $B$ el conjunto de opciones para el segundo paso, tal que $|B| = n$. Puedes escribir los elementos de $B$ como: $$ B = {b_1, b_2, \dots, b_n} $$
Un resultado de la tarea completa es un par ordenado $(a_i, b_j)$, donde $a_i \in A$ y $b_j \in B$. Lo que hay que encontrar es el número total de esos pares distintos.
Puedes organizar estos pares fijando el elemento que elegiste del conjunto $A$:
Como las opciones son diferentes, ningún par de una fila es igual a un par de otra fila. Así que acabas de crear $m$ filas separadas, y cada fila tiene exactamente $n$ pares.
Para encontrar el número total de pares, suma la cantidad de pares que hay en cada fila: $$ \text{Total} = \underbrace{n + n + \dots + n}_{m \text{ veces}} $$
Por la definición de la multiplicación, sumar $n$ consigo mismo $m$ veces es lo mismo que: $$ \text{Total} = m \times n $$
$\square$