La suma de la fila n siempre es 2^n.
La propiedad de las "Sumas de las Filas" del Triángulo de Pascal es una identidad clave en combinatoria que dice que la suma de todos los números en la fila $n$ del Triángulo de Pascal es igual a $2^n$. Como el $k$-ésimo valor en la fila $n$ es el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$, esta identidad conecta la estructura del Triángulo de Pascal con las potencias de 2. Te vas a encontrar este concepto seguido en las olimpiadas de matemáticas para simplificar sumas pesadas que tienen coeficientes binomiales o para encontrar el total de resultados en procesos binarios.
La lógica combinatoria de esta fórmula suele ser más clara que el desarrollo algebraico. El término $\binom{n}{k}$ representa de cuántas formas puedes elegir un subconjunto de tamaño $k$ de un conjunto con $n$ elementos diferentes. Si sumas $\binom{n}{k}$ para todos los valores posibles de $k$ (desde $0$ hasta $n$), lo que estás haciendo es contar los subconjuntos de tamaño 0, luego los de tamaño 1, y así hasta llegar al tamaño $n$. Así que la suma representa el total de subconjuntos que tiene un conjunto de $n$ elementos (lo que llamamos el conjunto potencia).
Otra forma de ver esto es pensar en cómo armas un subconjunto con $n$ elementos. Para cada elemento, tienes exactamente dos opciones: o