Sean $ a,b$ y $ c$ números reales tales que la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ tiene dos soluciones reales distintas $ p_1,p_2$ y la ecuación $ cx^2 + bx + a = 0$ tiene dos soluciones reales distintas $ q_1,q_2$. Sabemos que los números $ p_1,q_1,p_2,q_2$ en ese orden, forman una progresión aritmética. Demuestra que $ a+c=0$.

Encuentra todos los números primos $ p$ y $ q$ tales que $$ p^3 - q^5 = (p + q)^2.$$

Sea $ABC$ un triángulo y $L$, $M$, $N$ los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. La tangente a la circunferencia de $ABC$ en $A$ interseca a $LM$ y $LN$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que $CP$ es paralela a $BQ$.

Para $0 \leq d \leq 9$, definimos los números \[S_{d}=1+d+d^{2}+\cdots+d^{2006}\] Encuentra el último dígito del número \[S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{9}.\]

Dado un entero positivo $m$, se define la sucesión $\{a_n\}$ de la siguiente manera: $$a_1=\frac{m}{2},\hspace{2mm}a_{n+1}=a_n\lceil a_n\rceil, \hspace{2mm} n\geq 1$$ Determina todos los valores de $m$ para los cuales $a_{2007}$ es el primer entero que aparece en la sucesión.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia centrada en $ O$ tal que $ AC$ es un diámetro. Se construyen los pararrelogramas $ DAOE$ y $ BCOF$. Demuestra que si $ E$ y $ F$ están en la circunferencia entonces $ ABCD$ es un rectángulo.

Dados $n$ y $k$ enteros positivos, sea $f(n,2k)$ el número de formas en que un tablero de tamaño $n \times 2k$ puede ser completamente cubierto por $nk$ fichas de dominó de tamaño $2 \times 1$ (por ejemplo, $f(2,2) = 2$ y $f(3,2) = 3$). Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que para todo entero positivo $k$, el número $f(n,2k)$ es impar.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sea $X$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$; sea $Y$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BCD$; sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle BCD$ y $\angle CDA$; y sea $W$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CDA$ y $\angle DAB$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$. Suponga que los puntos $O$, $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ son distintos. Prueba que $O$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia si y sólo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencias.

Para cada entero positivo $n \ge 2$, determina el mayor entero positivo $N$ con la propiedad de que existen $N +1$ números reales $a_0,a_1,\dots,a_N$ tales que - $a_0+a_1=-\frac 1n$, y - $(a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1}$ para todo $1\leq k \leq N-1$.

Dos circunferencias $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ se cruzan en los puntos $ A$ y $ B$. Consideremos una circunferencia $ \Gamma$ contenida en $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$, que es tangente a ambas en $ D$ y $ E$ respectivamente. Sea $ C$ uno de los puntos de intersección de la recta $ AB$ con $ \Gamma$, $ F$ la intersección de la recta $ EC$ con $ \Gamma_2$ y $ G$ la intersección de la recta $ DC$ con $ \Gamma_1$. Sean $ H$ e $ I$ los puntos de intersección de la recta $ ED$ con $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ respectivamente. Demuestra que $ F$, $ G$, $ H$ e $ I$ están en la misma circunferencia.