Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $N$ un punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contenga a $A$ tal que $\angle NAC= \angle BAM$. Sea $R$ el punto medio de $AM$, $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altitud que pasa por $A$. Demuestra que $R$, $S$ y $T$ son colineales.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\Gamma$. Sean $M=BI\cap \Gamma$ y $N=CI\cap \Gamma$, la recta paralela a $MN$ por $I$ corta a $AB$, $AC$ en $P$ y $Q$. Demuestra que el circunradio de $\odot (BNP)$ y $\odot (CMQ)$ son iguales.

Queremos escribir $n$ números reales distintos $(n\geq 3)$ en la circunferencia de un círculo de forma que cada número sea igual al producto de sus vecinos inmediatos a la izquierda y a la derecha. Determinar todos los valores de $n$ para los que esto es posible.

Sea $n \geq 2$ un número entero, y sean $a_1, a_2, \dots , a_n$ enteros positivos. Muestra que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones: $a_i \le b_i$ para todo $i = 1, 2, \dots , n$; los residuos de $b_1, b_2, \dots , b_n$ al dividirlos entre $n$ son todos diferentes; y \[b_1+b_2+\cdots b_n \le n\left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n}\right \rfloor \right)\]

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC=2AB$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $CAB$ con $BC$. Sea $F$ el punto de intersección de la recta paralela a $AB$ que pasa por $C$ con la recta perpendicular a $AD$ que pasa por $A$. Demuestra que $FD$ pasa por el punto medio de $AC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB \lt CD$, y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$.La circunferencia del triángulo $PCD$ corta a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R.$ Sean $S$ y $T$ los puntos en los que las tangentes de $P$ a la circunferencia de $ABCD$ tocan dicha circunferencia. Muestra que $PQ=PR$. Muestra que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

$39$ estudiantes participaron en un concurso de matemáticas. El examen constaba de $6$ problemas y cada problema valía $1$ punto por una solución correcta y $0$ puntos por una solución incorrecta. Para $3$ estudiantes cualesquiera, hay a lo más $1$ problema que no fue resuelto por ninguno de los tres. Sea $B$ la suma de todas las puntuaciones de los $39$ estudiantes. Halla el menor valor posible de $B$.

Anselmo y Bonifacio inician un juego en el que sustituyen alternativamente un número escrito en un tablero. En cada turno, un jugador puede sustituir el número escrito por el número de divisores del número escrito o por la diferencia entre el número escrito y el número de divisores que tiene. Anselmo es el primer jugador en jugar, y el que sea el primero en escribir el número $0$ es el ganador. Dado que el número inicial es $1036$, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y describe dicha estrategia. Nota: Por ejemplo, el número de divisores de $14$ es $4$, ya que sus divisores son $1$, $2$, $7$ y $14$.

Una sucesión $(a_n)$ de números reales está definida por $a_0=1$, $a_1=2015$ y para todo $n\geq1$, tenemos: \[a_{n+1}=\frac{n-1}{n+1}a_n-\frac{n-2}{n^2+n}a_{n-1}. \] Calcule el valor de $$\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}-\frac{a_4}{a_5}+\ldots+\frac{a_{2013}}{a_{2014}}-\frac{a_{2014}}{a_{2015}}.$$

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$, inscrito en una circunferencia de centro $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$. Una circunferencia que pasa por $O$ y $P$ interseca los segmentos $BC$ y $AD$ en los puntos interiores $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que $BF=DG$.