Un número entero positivo de cuatro dígitos se llama virtual si tiene la forma $\overline{abab},$ donde $a$ y $b$ son dígitos y $a \neq 0$. Por ejemplo, 2020, 2121 y 2222 son números virtuales, mientras que 2002 y 0202 no lo son. Encontrar todos los números virtuales de la forma $n^2+1$, para algún número entero positivo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y sea $M$ el punto medio de $AC$. Se elige un punto $P$ (distinto de $B$) en el segmento $BC$ de forma que $AB=AP$. Sea $D$ la intersección de $AC$ con el circuncírculo del $\bigtriangleup ABP$ distinto de $A$, y $E$ la intersección de $PM$ con el circuncírculo del $\triangle ABP$ distinto de $P$. Sea $K$ la intersección de las rectas $AP$ y $DE$. Sea $F$ un punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$. Demuestra que $C, D, E$ y $F$ están en la misma circunferencia.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $a$, $b$ y $c$ son enteros tales que $a+b+c=0$, entonces \[ f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2. \]

Supongamos que tienes monedas idénticas distribuidas en varios montones con una o más monedas en cada uno de ellos. Una acción consiste en tomar dos montones, que tienen un total par de monedas entre ellos, y redistribuir sus monedas en dos montones para que terminen con el mismo número de monedas. Una distribución es "nivelable" si es posible, mediante 0 o más operaciones, acabar con todos los montones con el mismo número de monedas. Determina todos los enteros positivos $n$ tales que, para todos los enteros positivos $k$, cualquier distribución de $nk$ monedas en $n$ montones es nivelable.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sea $T$ la reflexión de $C$ respecto a $O$ y $T'$ la reflexión de $T$ respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ interseca de nuevo a $\omega$ en $R$. La perpendicular a $CT$ que pasa por $O$ corta a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ la intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Demuestra que $\overline{CN}=2\overline{AL}$.

Sea $n$ un natural mayor a $2$. Supongamos que $n$ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes, con las islas $x_1,x_2,\ldots, c_n$ en orden de las manecillas del reloj. Comenzando en la isla $x_1$, ¿de cuántas maneras se pueden recorrer los puentes pasando por cada puente exactamente una vez?

Considera un triángulo $ABC$ con $BC>AC$. La circunferencia con centro $C$ y radio $AC$ interseca al segmento $BC$ en $D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$. La recta $AB$ y $\Gamma$ se cruzan en un punto $F$ con $F \neq A$. Demuestra que $BF=BD$.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Sea $k$ un número entero positivo y $x_1, x_2, \dots, x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. \nDemuestra que\n\[ P(x_1)+P(x_2)+\cdots+P(x_k)\geq kP(1). \]

Un entero positivo $N$ es "interoceanico" si su factorizacion prima $$N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$$ satisface $$x_1+x_2+\cdots+x_k=p_1+p_2+\cdots+p_k.$$ Encuentra todos los numeros interoceanicos menores que $2020$.

Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$. Las alturas de $B$ y $C$ se prolongan y se encuentran con $l$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ vuelven a encontrarse con $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que el triángulo $APQ$ es isósceles.