El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por $2006^{2}$. Determina el valor mínimo que puede tomar la suma de dichos números.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $I=AC\cap BD$, y $E$, $H$, $F$ y $G$ son puntos en $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente, tales que $EF \cap GH= I$. Si $M=EG \cap AC$, $N=HF \cap AC$. Demuestra que \[\frac{AM}{IM}\cdot \frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]

Sea $ABCD$ un trapecio tal que $AB\parallel CD$ y $AB+CD=AD$. Sea $P$ el punto sobre $AD$ tal que $AP=AB$ y $PD=CD$. Muestra que $\angle BPC=90^{\circ}$. $Q$ es el punto medio de $BC$ y $R$ es el punto de intersección entre la recta $AD$ y la circunferencia que pasa por los puntos $B,A$ y $Q$. Muestra que los puntos $B,P,R$ y $C$ son concíclicos.

Entre los enteros positivos que se pueden expresar como la suma de $2005$ enteros consecutivos, ¿cuál ocupa la posición $2005$ cuando se ordenan?

En una pizarra, se escriben los números de $1$ a $9$. Los jugadores $A$ y $B$ se turnan, y $A$ es el primero. Cada jugador, por turno, elige uno de los números de la pizarra y lo retira, junto con todos los múltiplos (si los hay). El jugador que elimina el último número pierde. Determina si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.

Dos jugadores $A$ y $B$ se turnan en el siguiente juego: Hay un montón de piedras de $2003$. En su primer turno, $A$ elige un divisor de $2003$ y retira este número de piedras del montón. A continuación, $B$ elige un divisor del número de piedras restantes, y retira ese número de piedras del nuevo montón, y así sucesivamente. El jugador que tenga que retirar la última piedra pierde. Demuestra que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describa la estrategia.

En un tablero de $10\times 10$, la mitad de las casillas son de color blanco y la otra mitad de color negro. Un lado común a dos casillas del tablero es llamado "borde" si las dos casillas tienen colores diferentes. Determina el número mínimo y máximo posible de bordes que puede haber en el tablero.

Si $x$, $y$, $z$ son reales positivos que satisfacen \[x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2. \] Encuentra todos los valores posibles de $x+y+z$.

Sea $ P$ el producto de todos los dígitos no nulos del entero positivo $ n$. Por ejemplo, $ P(4) = 4$, $ P(50) = 5$, $ P(123) = 6$, $ P(2009) = 18$. Encuentra el valor de la suma: $P(1) + P(2) + ... + P(2008) + P(2009)$.

Con perlas de diferentes colores formando collares, se dice que un collar es "primo" si no se puede descomponer en hilos de perlas de la misma longitud, e iguales entre sí. Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Demuestra que el número de collares primos con $n$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q^n$ colores posibles, es igual a $n$ veces el número de collares primos con $n^2$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q$ colores posibles. Nota: dos collares se consideran iguales si tienen el mismo número de perlas y se puede conseguir el mismo color en ambos collares, girando uno de ellos para que coincida con el otro.