Final Estatal OMM 2010 Problema 1
Encontrar el mayor número que no tenga cifras repetidas y que sea múltiplo de $99$.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 2
En una competencia de basquetbol entre 7 equipos todos jugaron el mismo número de juegos. Se sabe que no hubo empates, que dos de los equipos ganaron todos los juegos que jugaron y que otro de los equipos sólo perdió uno. Probar que forzosamente hay algún equipo que perdió todos los juegos que jugó.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 3
Con piezas de madera de la forma indicada abajo se construyó un rectángulo de lados $a, b$. Determinar cuáles de los siguientes valores para $(a, b)$ son posibles y cuáles no. (Nota: Las piezas se pueden voltear o girar a conveniencia; son L’s construidas pegando tres cuadraditos de $1 × 1$.) $(a, b) = (3, 41), (35, 16), (28, 3), (35, 12), (33, 43), (9, 60).$ [image]
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Final Estatal OMM 2010 Problema 4
En un triángulo $ABC$, los puntos $P, Q$ y $R$ están sobre los lados $BC, AB$ y $CA$, respectivamente, de manera que $PQ$ es paralela a $AC$ y $PR$ es paralela a $AB$; los puntos $K, S$ y $T$ son las respectivas intersecciones de $AP$ con $QR$, de $CK$ con $AB$ y de $BK$ con $AC$. Probar que si $ST$ es paralela a $BC$ entonces $QR$ también es paralela a $BC$.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $BC || AD$, $| AB | = | CD |$ y $| BC | \\ \leq | AD |$. Un punto $P$ sobre el segmento $BC$ es tal que $\angle BAP = \angle PAD$. Probar que $|BP| \leq |PD|.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 8
¿De cuántas maneras diferentes es posible escribir $16$ como suma de enteros positivos impares? (Nota: El orden de los sumandos es importante; así, por ejemplo, $7 + 3 + 3 + 3$ y $3 + 7 + 3 + 3$ se consideran distintas.)
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Final Estatal OMM 2010 Problema 7
El dibujo muestra un rectángulo de $4 \times 7$ en el que el número de segmentos que unen puntos indicados por $\cdot$ es $134$. Determinar todas las posibles dimensiones de rectángulos que se pueden formar con el mismo patrón de construcción y que tengan también $134$ segmentos. [image]
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Final Estatal OMM 2010 Problema 6
¿De cuántas maneras puede partirse el conjunto ${1, 2, \\ldots, 9}$ en tres conjuntos si cada uno de esos conjuntos debe tener $3$ elementos y la suma de los elementos en cada conjunto no debe ser múltiplo de $3$? (Nota: No importa el orden de los elementos dentro de cada conjunto ni tampoco el orden de los conjuntos; por ejemplo, las dos siguientes distribuciones se consideran una misma: ${ \{ {4, 1, 2}, {3, 7, 6}, {5, 8, 9} \} }$ y ${ \{ {3, 6, 7}, {9, 8, 5}, {1, 4, 2} \} }$. )
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Final Estatal OMM 2009 Problema 2
¿Cuántos subconjuntos de 3 elementos escogidos dentro de $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ son tales que la suma de sus tres elementos no es múltiplo de 4?
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Final Estatal OMM 2009 Problema 6
En la figura, $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se cortan en ángulo recto; $P$ y $Q$ son los respectivos pies de las perpendiculares desde $D$ a $AB$ y desde $A$ a $BC$; $X$ es el punto de intersección de $DP$ con $AC$, y $Y$ es el punto de intersección de $AQ$ con $DB$. Demostrar que el cuadrilátero $DXYC$ es un rombo (es decir, es un paralelogramo con todos los lados de la misma longitud). [image]
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