Olimpiada de Selección de Rumania 1988 Problema 4
Demuestre que para todos los enteros positivos $0<a_1<a_2<\cdots <a_n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ (a_1+a_2+\cdots + a_n)^2 \leq a_1^3+a_2^3 + \cdots + a_n^3 . \]
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Olimpiada de Selección de Rumania 1988 Problema 3
Considere todos los polígonos regulares convexos y estrellados inscritos en un círculo dado y que tienen $n$ lados. Decimos que dos de tales polígonos son equivalentes si es posible obtener uno del otro usando una rotación alrededor del centro del círculo. ¿Cuántas clases de tales polígonos existen?
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Olimpiada de Selección de Rumania 1988 Problema 2
Sea $OABC$ un ángulo triedro tal que \[ \angle BOC = \alpha, \quad \angle COA = \beta, \quad \angle AOB = \gamma , \quad \alpha + \beta + \gamma = \pi . \] Para cualquier punto interior $P$ del ángulo triedro, sean $P_1$ , $P_2$ y $P_3$ las proyecciones de $P$ en las tres caras. Pruebe que $OP \geq PP_1+PP_2+PP_3$ .
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Olimpiada de Selección de Rumania 1988 Problema 6
Encuentre todos los vectores de $n$ números reales $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tales que \[ \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 & = & \dfrac 1{x_2} + \dfrac 1{x_3} + \cdots + \dfrac 1{x_n } \\ x_2 & = & \dfrac 1{x_1} + \dfrac 1{x_3} + \cdots + \dfrac 1{x_n} \\ \ & \cdots & \\\ x_n & = & \dfrac 1{x_1} + \dfrac 1{x_2} + \cdots + \dfrac 1{x_{n-1}} \end{array} \right. \]
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Olimpiada de Selección de Rumania 1988 Problema 1
Considere una esfera y un plano $\pi$ . Para un punto variable $M \in \pi$ , exterior a la esfera, se considera el cono circular con vértice en $M$ y tangente a la esfera. Encuentre el lugar geométrico de los centros de todos los círculos que aparecen como puntos tangentes entre la esfera y el cono.
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Problema de Prueba
Supongamos que se hace una regresión de $X\sim Y$. Resulta que nuestra matriz de datos $X$ es invertible. a) ¿Cuál es el error cuadrado de la regresión? b) ¿Cómo se interpreta esto geométricamente?
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Semifinal Estatal OMM 2022 Problema 4
En un encuentro de basquetbol del equipo $A$ contra el equipo $B$, el auditorio tiene asientos acomodados en un arreglo rectangular. En cada una de las filas se encuentran sentados 11 espectadores que apoyan al equipo $A$. En cada columna hay 14 espectadores que le van al equipo $B$. Quedaron vacíos 17 asientos. ¿Cuántos asientos puede tener el auditorio?
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Semifinal Estatal OMM 2022 Problema 2
El producto de 3 números enteros distintos es 6336. Si el mayor es igual a 12 veces el menor, ¿cuáles son los tres números?
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Semifinal Estatal OMM 2022 Problema 1
En los cuadritos de la siguiente figura se deben distribuir los números enteros del 1 al 10 de tal forma que sean iguales las sumas de los números en cada columna y en cada renglón. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener esa suma? [image]
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Semifinal Estatal OMM 2022 Problema 3
El triángulo equilátero $ABC$ está partido como se muestra en la figura. El área de $GFC$ es $x$, el área de $EFG$ es $2x$, el área de $EDF$ es $3x$, el área de $BED$ es $4x$ y el área de $BAD$ es $5x$. Si $|AD|=2$, ¿cuánto mide $EG$? [image]
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