Demuestre que para cada número natural $ a\ge 3, $ hay infinitos números naturales $ n $ tales que $ a^n\equiv 1\pmod n . $ ¿Esto se cumple para $ n=2? $

a) Demuestre que para cualquier número natural $ n\ge 1, $ existe un conjunto $ \mathcal{M} $ de $ n $ puntos del plano cartesiano tales que el baricentro de cada subconjunto de $ \mathcal{M} $ tiene coordenadas integrales (ambas coordenadas son números enteros). b) Demuestre que si se da un conjunto $ \mathcal{N} $ formado por un número infinito de puntos del plano cartesiano tal que no hay tres de ellos colineales, entonces existe un subconjunto finito de $ \mathcal{N} , $ cuyo baricentro tiene coordenadas no integrales.

a) Demuestre que $ 0=\inf\{ |x\sqrt 2+y\sqrt 3+y\sqrt 5|\big| x,y,z\in\mathbb{Z} ,x^2+y^2+z^2>0 \} $ b) Demuestre que existen tres números racionales positivos $ a,b,c $ tales que la expresión $ E(x,y,z):=xa+yb+zc $ se anula para infinitas ternas enteras $ (x,y,z), $ pero no se acerca arbitrariamente a $ 0. $

Encuentre el lugar geométrico de los puntos $ M $ dentro de un triángulo equilátero $ ABC $ tal que $$ \angle MBC+\angle MCA +\angle MAB={\pi}/{2}. $$

Resuelva la ecuación $ \sin x\sin 2x\cdots\sin nx+\cos x\cos 2x\cdots\cos nx =1, $ para $ n\in\mathbb{N} $ y $ x\in\mathbb{R} . $

a) Sean $ D_1,D_2,D_3 $ líneas oblicuas por pares. A través de cada punto $ P_2\in D_2 $ hay una secante común única de estas tres líneas que interseca a $ D_1 $ en $ P_1 $ y a $ D_3 $ en $ P_3. $ Sean los sistemas de coordenadas introducidos en $ D_2 $ y $ D_3 $ teniendo como origen $ O_2, $ respectivamente, $ O_3. $ Encuentre una relación entre las coordenadas de $ P_2 $ y $ P_3. $ b) Demuestre que existen cuatro líneas oblicuas por pares con exactamente dos secantes comunes. También encuentre ejemplos con exactamente una y sin secantes comunes. c) Sean $ F_1,F_2,F_3,F_4 $ cuatro secantes cualesquiera de $ D_1,D_2, D_3. $ Demuestre que $ F_1,F_2, F_3, F_4 $ tienen infinitas secantes comunes.

Los puntos $ A’,B,C’ $ se toman arbitrariamente en los bordes $ SA,SB, $ respectivamente, $ SC $ de un tetraedro $ SABC. $ El plano formado por $ ABC $ interseca el plano $ \rho , $ formado por $ A’B’C’, $ en una línea $ d. $ Demuestre que, mientras el plano $ \rho $ gira alrededor de $ d, $ las líneas $ AA’,BB’ $ y $ CC’ $ son, y siguen siendo concurrentes. Encuentre el lugar geométrico de las respectivas intersecciones.

En un cuadrilátero convexo $ ABCD, $ sean $ A’,B’ $ las proyecciones ortogonales a $ CD $ de $ A, $ respectivamente, $ B. $ a) Asumiendo que $ BB’\le AA’ $ y que el perímetro de $ ABCD $ es $ (AB+CD)\cdot BB’, $ ¿es $ ABCD $ necesariamente un trapecio? b) La misma pregunta con la adición de que $ \angle BAD $ es obtuso.

Sea $ \mathcal{M} $ un conjunto de $ 3n\ge 3 $ puntos planos tales que la distancia máxima entre dos de estos puntos es $ 1 $ . Demuestre que: a) entre cuatro puntos cualesquiera, hay dos separados por una distancia a lo sumo $ \frac{1}{\sqrt{2}} . $ b) para $ n=2 $ y cualquier $ \epsilon >0, $ es posible que $ 12 $ o $ 15 $ de las distancias entre puntos de $ \mathcal{M} $ se encuentren en el intervalo $ (1-\epsilon , 1]; $ pero cualquier $ 13 $ de las distancias no se pueden encontrar todas en el intervalo $ \left(\frac{1}{\sqrt 2} ,1\right]. $ c) existe un círculo de diámetro $ \sqrt{6} $ que contiene a $ \mathcal{M} . $ d) algunos dos puntos de $ \mathcal{M} $ están a una distancia que no excede de $ \frac{4}{3\sqrt n-\sqrt 3} . $

Sean $ A_1,A_2,...,A_{3n} $ $ 3n\ge 3 $ puntos planos tales que $ A_1A_2A_3 $ es un triángulo equilátero y $ A_{3k+1} ,A_{3k+2} ,A_{3k+3} $ son los puntos medios de los lados de $ A_{3k-2}A_{3k-1}A_{3k} , $ para todo $ 1\le k<n. $ De dos colores diferentes, cada uno de estos puntos se colorea, ya sea con uno, ya sea con otro. a) Demuestre que, si $ n\ge 7, $ entonces algunos de estos puntos forman un trapecio isósceles monocromático (solo un color). b) ¿Qué pasa con $ n=6? $