a) Considerar el polinomio $P(X)=X^5\in \mathbb{R}[X]$ . Demostrar que para cada $\alpha\in\mathbb{R}^*$ , el polinomio $P(X+\alpha )-P(X)$ no tiene raíces reales. b) Sea $P(X)\in\mathbb{R}[X]$ un polinomio de grado $n\ge 2$ , con raíces reales y distintas. Demostrar que existe $\alpha\in\mathbb{Q}^*$ tal que el polinomio $P(X+\alpha )-P(X)$ solo tiene raíces reales.

La función continua $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ tiene la propiedad: $\lim_{x\rightarrow\infty}\ n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=0 $ para cada $x\in [0,1)$ . Demostrar que: a) Para cada $\epsilon >0$ y $\lambda\in (0,1)$ , tenemos: $ \sup\ \{x\in[0,\lambda )\mid |f(x)-f(0)|\le \epsilon x \}=\lambda $ b) $f$ es una función constante.

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty )$ una función con la propiedad de que $|f(x)-f(y)|\le |x-y|$ para cada $x,y\in\mathbb{R}$ . Demostrar que: a) Si $\lim_{n\rightarrow \infty} f(x+n)=\infty$ para cada $x\in\mathbb{R}$ , entonces $\lim_{x\rightarrow\infty}=\infty$ . b) Si $\lim_{n\rightarrow \infty} f(x+n)=\alpha ,\alpha\in[0,\infty )$ para cada $x\in\mathbb{R}$ , entonces $\lim_{x\rightarrow\infty}=\alpha$ .

Consideramos una matriz $A\in M_n(\textbf{C})$ con rango $r$ , donde $n\ge 2$ y $1\le r\le n-1$ . a) Demostrar que existen $B\in M_{n,r}(\textbf{C}), C\in M_{r,n}(\textbf{C})$ , con $ rank B= rank C = r$ , tales que $A=BC$ . b) Demostrar que la matriz $A$ verifica una ecuación polinómica de grado $r+1$ , con coeficientes complejos.

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua, derivable en $R\setminus\{x_0\}$ , que tiene derivadas laterales finitas en $x_0$ . Demostrar que existe una función derivable $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , una función lineal $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ y $\alpha\in\{-1,0,1\}$ tales que: $ f(x)=g(x)+\alpha |h(x)|,\ \forall x\in\mathbb{R}$

Sea $n\ge 2$ un entero par y $a,b$ números reales tales que $b^n=3a+1$ . Demostrar que el polinomio $P(X)=(X^2+X+1)^n-X^n-a$ es divisible por $Q(X)=X^3+X^2+X+b$ si y solo si $b=1$ .

Sean $m,k$ enteros positivos, $k<m$ y $M$ un conjunto con $m$ elementos. Demostrar que el número máximo de subconjuntos $A_1,A_2,\ldots ,A_p$ de $M$ para los cuales $A_i\cap A_j$ tiene a lo sumo $k$ elementos, para cada $1\le i<j\le p$ , es igual a $ p_{max}=\binom{m}{0}+\binom{m}{1}+\binom{m}{2}+\ldots+\binom{m}{k+1}$

En el tetraedro $OABC$ denotamos por $\alpha,\beta,\gamma$ las medidas de los ángulos $\angle BOC,\angle COA,$ y $\angle AOB$ , respectivamente. Demostrar la desigualdad $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma<1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma $

Sean $a$ y $b$ números complejos no nulos y $z_1,z_2$ las raíces de los polinomios $X^2+aX+b$ . Demostrar que $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ si y solo si existe un número real $\lambda\ge 4$ tal que $a^2=\lambda b$ .

Determinar los sistemas ordenados $(x,y,z)$ de números racionales positivos para los cuales $x+\frac{1}{y},y+\frac{1}{z}$ y $z+\frac{1}{x}$ son enteros.