Demuestra que si $A$ es un anillo conmutativo finito con al menos dos elementos y $n$ es un entero positivo, entonces existe un polinomio de grado $n$ con coeficientes en $A$ que no tiene ninguna raíz en $A$ .

Sea $G= \{ A \in \mathcal M_2 \left( \mathbb C \right) \mid |\det A| = 1 \}$ y $H =\{A \in \mathcal M_2 \left( \mathbb C \right) \mid \det A = 1 \}$ . Demuestra que $G$ y $H$ junto con la operación de multiplicación de matrices son dos grupos no isomorfos.

Sean $f_1,f_2,\ldots,f_n : [0,1]\to (0,\infty)$ $n$ funciones continuas, $n\geq 1$ , y sea $\sigma$ una permutación del conjunto $\{1,2,\ldots, n\}$ . Demuestra que \[ \prod^n_{i=1} \int^1_0 \frac{ f_i^2(x) }{ f_{\sigma(i)}(x) } dx \geq \prod^n_{i=1} \int^1_0 f_i(x) dx. \]

Decimos que una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tiene la propiedad $(P)$ si, para cualquier número real $x$ , \[ \sup_{t\leq x} f(x) = x. \] a) Da un ejemplo de una función con propiedad $(P)$ que tiene una discontinuidad en cada punto real. b) Demuestra que si $f$ es continua y satisface $(P)$ entonces $f(x) = x$ , para todo $x\in \mathbb R$ .

Sea $\{x_n\}_{n\geq 0}$ una secuencia de números reales que satisfacen \[ (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}+x_n+1) \leq 0, \quad n\geq 0. \] a) Demuestra que la secuencia está acotada; b) ¿Es posible que la secuencia no sea convergente?

Sean $n,p \geq 2$ dos enteros y $A$ una matriz de $n\times n$ con elementos reales tal que $A^{p+1} = A$ . a) Demuestra que $\textrm{rango} \left( A \right) + \textrm{rango} \left( I_n - A^p \right) = n$ . b) Demuestra que si $p$ es primo entonces \[ \textrm{rango} \left( I_n - A \right) = \textrm{rango} \left( I_n - A^2 \right) = \ldots = \textrm{rango} \left( I_n - A^{p-1} \right) . \]

Sea $x>0$ un número real y $A$ una matriz cuadrada de $2\times 2$ con entradas reales tal que $\det {(A^2+xI_2 )} = 0$ . Demuestra que $\det{ (A^2+A+xI_2) } = x$ .

a) Encuentra dos conjuntos $X,Y$ tales que $X\cap Y =\emptyset$ , $X\cup Y = \mathbb Q^{\star}_{+}$ y $Y = \{a\cdot b \mid a,b \in X \}$ . b) Encuentra dos conjuntos $U,V$ tales que $U\cap V =\emptyset$ , $U\cup V = \mathbb R$ y $V = \{x+y \mid x,y \in U \}$ .

Decimos que un prisma es binario si existe un etiquetado de los vértices del prisma con enteros del conjunto $\{-1,1\}$ tal que el producto de los números asignados a los vértices de cada cara (base o cara lateral) es igual a $-1$ . a) Demuestra que cualquier prisma binario tiene el número de vértices totales divisible por 8; b) Demuestra que cualquier prisma con 2000 vértices es binario .

Sea $ABC$ un triángulo y sean $M,N,P$ puntos en los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente tales que \[ \frac{AP}{PB} = \frac{BM}{MC} = \frac{CN}{AN}. \] Demuestra que si el triángulo $MNP$ es equilátero entonces el triángulo $ABC$ es equilátero.