Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $ H$ y sea $ X$ un punto arbitrario en su plano. El círculo con diámetro $ HX$ interseca las líneas $ AH$ y $ AX$ en $ A_{1}$ y $ A_{2}$ , respectivamente. Similarmente, define $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , $ C_{1}$ , $ C_{2}$ . Demuestra que las líneas $ A_{1}A_{2}$ , $ B_{1}B_{2}$ , $ C_{1}C_{2}$ son concurrentes.

Sea $ ABC$ un triángulo con $ \measuredangle{BAC} < \measuredangle{ACB}$ . Sean $ D$ , $ E$ puntos en los lados $ AC$ y $ AB$ , tales que los ángulos $ ACB$ y $ BED$ son congruentes. Si $ F$ se encuentra en el interior del cuadrilátero $ BCDE$ tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $ BCF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ DEF$ y la circunferencia circunscrita de $ BEF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ CDF$ , demuestre que los puntos $ A$ , $ C$ , $ E$ , $ F$ son concíclicos.

Sea $ G$ un grafo conectado con $ n$ vértices y $ m$ aristas tal que cada arista está contenida en al menos un triángulo. Encuentra el valor mínimo de $ m$ .

Demuestra que cada pentágono convexo tiene un vértice desde el cual la distancia al lado opuesto del pentágono es estrictamente menor que la suma de las distancias desde los dos vértices adyacentes al mismo lado. Nota . Si el pentágono está etiquetado como $ ABCDE$ , los vértices adyacentes de $ A$ son $ B$ y $ E$ , los de $ B$ son $ A$ y $ C$ etc.

¿Existen secuencias de enteros positivos $ 1 \leq a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots$ tales que para cada entero $ n$ , el conjunto $ \left\{a_{k} + n\ |\ k = 1, 2, 3, \ldots\right\}$ contiene finitamente muchos números primos?

Sea $ n \geq 3$ un entero impar. Determine el valor máximo de \[ \sqrt{|x_{1}-x_{2}|}+\sqrt{|x_{2}-x_{3}|}+\ldots+\sqrt{|x_{n-1}-x_{n}|}+\sqrt{|x_{n}-x_{1}|},\] donde $ x_{i}$ son números reales positivos del intervalo $ [0,1]$ .

Encuentra el máximo común divisor de los números \[ 2^{561}-2, 3^{561}-3, \ldots, 561^{561}-561.\]

Demuestra que existe un conjunto $ S$ de $ n - 2$ puntos dentro de un polígono convexo $ P$ con $ n$ lados, tal que cualquier triángulo determinado por $3$ vértices de $ P$ contiene exactamente un punto de $ S$ dentro o en las fronteras.

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con todos los lados de longitud 1. Demuestra que uno de los radios de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ ACE$ o $ BDF$ es al menos 1.

Sean $ a_i, b_i$ números reales positivos, $ i=1,2,\ldots,n$ , $ n\geq 2$ , tales que $ a_i<b_i$ , para todo $ i$ , y también \[ b_1+b_2+\cdots + b_n < 1 + a_1+\cdots + a_n.\] Demuestra que existe un $ c\in\mathbb R$ tal que para todo $ i=1,2,\ldots,n$ , y $ k\in\mathbb Z$ tenemos \[ (a_i+c+k)(b_i+c+k) > 0.\]