Sea $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ un polinomio donde $a,b,c$ son enteros y $c$ es impar. Sea $p_{i}$ el valor de $P(x)$ en $x=i$. Dado que $p_{1}^3+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}=3p_{1}p_{2}p_{3}$, encuentra el valor de $p_{2}+2p_{1}-3p_{0}.$

Un entero positivo $m$ tiene la propiedad de que $m^2$ es expresable en la forma $4n^2-5n+16$ donde $n$ es un entero (de cualquier signo). Encuentra el valor máximo de $|m-n|.$

La secuencia $\{a_{n}\}_{n \geqslant 0}$ está definida por $a_{0}=1, a_{1}=-4$ y $a_{n+2}=-4a_{n+1}-7a_{n}$, para $n \geqslant 0$. Encuentra el número de divisores enteros positivos de $a^2_{50}-a_{49}a_{51}$.

Encuentra el número de triples $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que (a) $a b$ es un primo; (b) $b c$ es un producto de dos primos; (c) $a b c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo y (d) $a b c \leq 30$.

Dado una baldosa de $2 \times 2$ y siete dominós (baldosa de $2 \times 1$), encuentra el número de formas de embaldosar (es decir, cubrir sin dejar huecos y sin superposición de dos baldosas) un rectángulo de $2 \times 7$ usando algunas de estas baldosas.

Se deben diseñar dados no convencionales de tal manera que las seis caras estén marcadas con números del $1$ al $6$ con $1$ y $2$ apareciendo en caras opuestas. Además, cada cara está coloreada de rojo o amarillo con caras opuestas siempre del mismo color. Se considera que dos dados tienen el mismo diseño si uno de ellos puede rotarse para obtener un dado que tenga los mismos números y colores en las caras correspondientes que el otro. Encuentra el número de dados distintos que se pueden diseñar.

Sea $X$ el conjunto de todos los enteros positivos pares $n$ tales que la medida del ángulo de algún polígono regular es $n$ grados. Encuentra el número de elementos en $X$.

En un triángulo $A B C$, sea $E$ el punto medio de $A C$ y $F$ el punto medio de $A B$. Las medianas $B E$ y $C F$ se intersecan en $G$. Sean $Y$ y $Z$ los puntos medios de $B E$ y $C F$ respectivamente. Si el área del triángulo $A B C$ es 480, encuentra el área del triángulo $G Y Z$.

Sean $x, y$ enteros positivos tales que \n$$ x^4=(x-1)\left(y^3-23\right)-1 . $$\nEncuentra el valor máximo posible de $x+y$.

Sean $\alpha$ y $\beta$ enteros positivos tales que \n$$ \frac{16}{37}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{7}{16} . $$\nEncuentra el valor posible más pequeño de $\beta$.