Sea $n \geq 2$ un entero dado $a)$ Pruebe que uno puede ordenar todos los subconjuntos del conjunto $\{1,2... ,n\}$ como una secuencia de subconjuntos $A_{1}, A_{2},\cdots , A_{2^{n}}$ , tal que $|A_{i+1}| = |A_{i}| + 1$ o $|A_{i}| - 1$ donde $i = 1,2,3,\cdots , 2^{n}$ y $A_{2^{n} + 1} = A_{1}$ $b)$ Determine todos los valores posibles de la suma $\sum \limits_{i = 1}^{2^n} (-1)^{i}S(A_{i})$ donde $S(A_{i})$ denota la suma de todos los elementos en $A_{i}$ y $S(\emptyset) = 0$ , para cualquier secuencia de subconjuntos $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{2^n}$ que satisfaga la condición en $a)$

Sea $M$ un subconjunto de $\{1,2,3... 2011\}$ que satisface la siguiente condición: Para cualesquiera tres elementos en $M$ , existen dos de ellos $a$ y $b$ tales que $a|b$ o $b|a$ . Determine el valor máximo de $|M|$ donde $|M|$ denota el número de elementos en $M$

Dado que $0 < x,y < 1$ , hallar el valor máximo de $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$

Dado un rectángulo de $a \times b$ con $a > b > 0$, determina el lado mínimo de un cuadrado que cubre el rectángulo. (Un cuadrado cubre el rectángulo si cada punto en el rectángulo se encuentra dentro del cuadrado.)

Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m > n \geq 2$. Sea $S = \{1, 2, \ldots, m\}$, y $T = \{a_l, a_2, \ldots, a_n\}$ es un subconjunto de S tal que ningún número en $S$ es divisible por dos números distintos en $T$. Demuestra que \[ \sum^n_{i = 1} \frac {1}{a_i} < \frac {m + n}{m}. \]

Un entero $n$ se llama bueno si existen $n \geq 3$ puntos reticulares $P_1, P_2, \ldots, P_n$ en el plano coordenado que satisfacen las siguientes condiciones: Si el segmento de línea $P_iP_j$ tiene una longitud racional, entonces existe $P_k$ tal que ambos segmentos de línea $P_iP_k$ y $P_jP_k$ tienen longitudes irracionales; y si el segmento de línea $P_iP_j$ tiene una longitud irracional, entonces existe $P_k$ tal que ambos segmentos de línea $P_iP_k$ y $P_jP_k$ tienen longitudes racionales. (1) Determina el número bueno mínimo. (2) Determina si 2005 es un número bueno. (Un punto en el plano coordenado es un punto reticular si ambas de sus coordenadas son enteros.)

Sean $x$ e $y$ números reales positivos con $x^3 + y^3 = x - y$. Demuestra que \[ x^2 + 4y^2 < 1.\]

Determina todos los números reales positivos $a$ tales que exista un entero positivo $n$ y conjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ que satisfagan las siguientes condiciones: (1) cada conjunto $A_i$ tiene infinitos elementos; (2) cada par de conjuntos distintos $A_i$ y $A_j$ no comparten ningún elemento común (3) la unión de los conjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ es el conjunto de todos los enteros; (4) para cada conjunto $A_i$, la diferencia positiva de cualquier par de elementos en $A_i$ es al menos $a^i.$

Determina si existe un poliedro convexo tal que (1) tenga 12 aristas, 6 caras y 8 vértices; (2) tenga 4 caras, cada par de ellas compartiendo una arista común del poliedro.

Encuentra todas las ternas ordenadas $ (x, y, z)$ de números reales tales que \[ 5 \left(x + \frac{1}{x} \right) = 12 \left(y + \frac{1}{y} \right) = 13 \left(z + \frac{1}{z} \right),\] y \[ xy + yz + zy = 1.\]