Sea $ABC$ un triángulo, y sea $P$ un punto dentro de él tal que $\angle PAC = \angle PBC$. Las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $CA$ se encuentran con estas líneas en $L$ y $M$, respectivamente, y $D$ es el punto medio de $AB$. Demuestre que $DL = DM$.

Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo dado. La figura se ve desde cada punto de la circunferencia en un ángulo recto (es decir, los dos rayos trazados desde el punto y que soportan la figura convexa son perpendiculares). Demuestre que el centro del círculo es un centro de simetría de la figura.

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros con coeficiente principal $1$ y con una de sus raíces igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1) + p(-1) - 2(1 + p(0))$.

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$. Sea $L$ una trayectoria dentro de $S$ que no se cruza a sí misma y que está compuesta por segmentos de línea $A_0A_1, A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_{n-1}A_n$ con $A_0 = A_n$. Suponga que para cada punto $P$ en el borde de $S$ hay un punto de $L$ a una distancia de $P$ no mayor que $\frac{1}{2}$. Demuestre que hay dos puntos $X$ e $Y$ de $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que se encuentra entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$.

Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por los puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de modo que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B,M$ y $N$ son colineales.

Determine todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación \[16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0\] tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica.

Considere secuencias infinitas $\{x_n\}$ de reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . a) Pruebe que para cada secuencia de este tipo existe un $n\ge1$ tal que: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \] b) Encuentre tal secuencia tal que para todo $n$ : \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

Sea $K$ un polígono convexo en el plano y suponga que $K$ está posicionado en el sistema de coordenadas de tal manera que \[\text{área } (K \cap Q_i) =\frac 14 \text{área } K \ (i = 1, 2, 3, 4, ),\] donde los $Q_i$ denotan los cuadrantes del plano. Pruebe que si $K$ no contiene ningún punto reticular distinto de cero, entonces el área de $K$ es menor que $4.$

La función $f(n)$ está definida en los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333$ y para todo $m,n:$ \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determine $f(1982)$ .

Sea $\mathcal{S}$ un conjunto que consta de $n \ge 3$ enteros positivos, ninguno de los cuales es suma de otros dos miembros distintos de $\mathcal{S}$ . Demuestre que los elementos de $\mathcal{S}$ pueden ordenarse como $a_1, a_2, \dots, a_n$ de modo que $a_i$ no divida a $a_{i - 1} + a_{i + 1}$ para todo $i = 2, 3, \dots, n - 1$ .