En la figura, escribe un entero positivo dentro de cada triangulito, de manera que el número escrito en cada triangulito que tenga al menos dos vecinos sea igual a la diferencia de los números escritos en algún par de vecinos. Dos triangulitos son vecinos si comparten un lado.

En la circunferencia de un círculo se marcan $ 10000$ puntos, que se numeran de $ 1$ a $ 10000$ en el sentido de las agujas del reloj. Se dibujan $ 5000$ segmentos de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: Cada segmento une dos puntos marcados. Cada punto marcado pertenece a uno y sólo un segmento. Cada segmento interseca exactamente uno de los segmentos restantes. A cada segmento se le asigna un número que es el producto del número asignado a cada punto final del segmento. Sea $ S$ la suma de los productos asignados a todos los segmentos. Demuestra que $ S$ es múltiplo de $ 4$.

Sea $ ABC$ un triángulo, $ D$ el punto medio de $ BC$, $ E$ un punto del segmento $ AC$ tal que $ BE = 2AD$ y $ F$ el punto de intersección de $ AD$ con $ BE$. Si $\angle DAC = 60^{\circ}$, halla la medida del ángulo $\angle FEA$.

Encuentra todos los números enteros positivos $N$ tales que sólo dos de los dígitos de $ N$ son distintos de $ 0$, uno de ellos es $ 3$, y $N$ es un cuadrado perfecto.

Dos jugadores $ A$, $ B$ y otras 2001 personas forman un círculo, de manera que $ A$ y $ B$ no están en posiciones consecutivas. $ A$ y $ B$ juegan en turnos alternos, empezando por $ A$. Una jugada consiste en tocar a una de las personas vecinas, la cual una vez tocada sale del círculo. El ganador es el último que queda en pie. Demuestra que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora, y dé dicha estrategia.

Decimos que un número es "tico" si la suma de sus dígitos es un múltiplo de $2003$. Demuestra que existe un número entero positivo $N$ tal que sus primeros $2003$ múltiplos, $N,2N,3N,\cdots, 2003N$, son todos ticos. ¿Existe un número entero positivo $N$ tal que todos sus múltiplos son ticos?

Encuentra un conjunto de infinitos enteros positivos $ S$ tal que para cada $ n\ge 1$ y cualesquiera $ n$ elementos distintos $ x_1,x_2,\cdots, x_n$ de S, el número $ x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ no es un cuadrado perfecto.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sean $P,Q,R,S$ los baricentros de los triángulos $ABE,BCE,CDE$ y $DAE$, respectivamente. Demuestra que $PQRS$ es un paralelogramo y que su área es igual a $2/9$ el área del cuadrilátero $ABCD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias que tienen a los lados $AB$ y $CA$ como diámetros, respectivamente. $C_2$ corta al lado $AB$ en el punto $F$ y $C_1$ corta al lado $CA$ en el punto $E$. Además, $\overline{BE}$ corta a $C_2$ en $P$ y $\overline{CF}$ corta a $C_1$ en $Q$. Demuestra que $AP=AQ$.

Las cifras de una calculadora (a excepción del $0$) están dispuestas en la forma indicada en el cuadro adjunto, donde aparece también la tecla '$+$'. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan de la manera siguiente: $A$ enciende la calculadora y pulsa una cifra, y a continuación pulsa la tecla $+$. Pasa la calculadora a $B$, que pulsa una cifra en la misma fila o columna que la pulsada por $A$ que no sea la misma que la última pulsada por $A$; a continuación pulsa $+$ y le devuelve la calculadora a $A$, que repite la operación y así sucesivamente. Pierde el juego el primer jugador que alcanza o supera la suma $31$. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cuál es esta?