Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $k\geq n$ tales que $k-n$ es par. Hay $2n$ lámparas numeradas $1,2,\dots,2n$, todas apagadas. Se puede hacer una secuencia de pasos: en cada paso una lámpara se cambia de estado (apagado a prendido o prendido a apagado). Sea $N$ el número de secuencias de $k$ pasos tales que al final de la secuencia las lámparas $1$ a $n$ están todas prendidas, y las lámparas $n+1$ a $2n$ están todas apagadas. Sea $M$ el número de secuencias de $k$ pasos tales que al final de la secuencia las lámparas $1$ a $n$ están todas prendidas, y las lámparas $n+1$ a $2n$ están todas apagadas, y a demás ninguna de las lámparas $n+1$ a $2n$ son prendidas durante la secuencia de pasos. Encuentra $\frac{N}{M}$.

Encuentra todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ tales que $ wx = yz.$

En una competencia matemática, algunos participantes son amigos (la amistad es mutua). Llamamos a un grupo de participantes una pandilla si cualesquiera dos miembros son amigos (los grupos de 1 participante son pandillas). El número de miembros de una pandilla es su tamaño. Si el mayor tamaño de una pandilla en la competencia es par, muestra que los participantes se pueden separar en dos habitaciones tales que el tamaño de la mayor pandilla en cada habitación es igual.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Supón que existe un círculo $\omega$ tangente a $BA$ más allá de $A$ y a $BC$ más allá de $C$, que además es tangente a $AD$ y $CD$. Muestra que las tangentes externas comunes a $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan sobre $\omega$.

Sean $a_1, a_2, \dots a_n$ números reales. Para cada $i$, $ (1 \leq i \leq n )$, definimos \[ d_{i} = \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \} - \min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}, \] y sea $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$. - Muestra que para cualesquiera números reales $x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n$, \[ \max \{ |x_{i} - a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac {d}{2}. \quad \quad (*) \] - Muestra que existen números reales $x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n$ que cumplen la igualdad en $(*)$.

Sea $n$ un entero positivo. Sea \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \} \] un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el plano tridimensional. Encuentra el menor número de planos tales que su unión contiene a $S$ pero no a $(0,0,0)$.

Sean $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ cinco puntos tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es cíclico. Sea $\ell$ una línea que pasa por $A$, interseca el interior del segmento $DC$ en $F$, e interseca a la línea $BC$ en $G$. Supón también que $EF=EG=EC$. Muestra que $\ell$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAB$.

En el triángulo $ABC$, la bisectriz del ángulo $BCA$ interseca el circuncírculo de nuevo en $R$, la mediatriz de $BC$ en $P$, y la mediatriz de $AC$ en $Q$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $BC$ y $AC$, respectivamente. Muestra que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen la misma área.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que si $4ab-1$ divide a $(4a^{2} - 1)^{2}$, entonces $a=b$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Muestra que $AP\geq AI$, y que la igualdad se da si y sólo si $P=I$.