a^((p-1)/2) ≡ (a/p) mod p.
El Criterio de Euler es un resultado fundamental en la teoría de números elemental que te da un método para calcular si un entero es un residuo cuadrático módulo un primo impar $p$. Mientras que la definición de un residuo cuadrático te pregunta si la congruencia $x^2 \equiv a \pmod p$ tiene solución, el Criterio de Euler traduce esta pregunta de existencia a un problema concreto de potencias modulares. Específicamente, dice que $a$ es un residuo cuadrático módulo $p$ si y solo si $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod p$, y es un no residuo si y solo si el resultado es $-1$.
Este teorema te sirve como puente entre la definición abstracta del símbolo de Legendre y el cálculo práctico. Lo vas a usar muchísimo en las olimpiadas de matemáticas para analizar si las congruencias cuadráticas tienen solución, y es la herramienta principal para demostrar las propiedades del símbolo de Legendre, incluyendo la Ley de Reciprocidad Cuadrática. Además, te deja determinar casos específicos, como ver para qué primos el $-1$ o el $2$ son residuos cuadráticos.
La idea detrás del Criterio de Euler viene del Pequeño Teorema de Fermat, que dice que para cualquier entero $a$ que no sea divisible entre $p$, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Puedes factorizar la expresión $a^{p-1} - 1