Existen para primos impares.
La existencia de raíces primitivas módulo $p^k$ (donde $p$ es un primo impar y $k \geq 1$) te dice que el grupo multiplicativo de enteros módulo $p^k$, que escribimos como $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$, es cíclico. Aunque las raíces primitivas no existen para módulos compuestos en general, sí existen específicamente para módulos de la forma $2, 4, p^k, \text{ and } 2p^k$. Este concepto te permite representar los elementos coprimos con $p^k$ como potencias de un solo generador $g$, lo que transforma problemas multiplicativos en aritmética modular en congruencias lineales aditivas módulo $\phi(p^k)$.
Esta técnica es fundamental en la teoría de números de olimpiada para analizar el orden de los elementos y resolver congruencias de grado alto. El paso de módulo $p$ a módulo $p^k$ se basa en el concepto de "lifting" (o levantamiento). Si encuentras una raíz primitiva $g$ módulo $p$, es muy probable que también sea una raíz primitiva módulo $p^2$ (y por consecuencia para todas las potencias mayores $p^k$). Si una raíz primitiva módulo $p$ no logra generar el grupo módulo $p^2$, un ajuste simple (sumarle $p$ al generador) te garantiza un generador válido para todas las potencias de $p