El k más pequeño tal que aᵏ ≡ 1.
Toma un entero $n > 1$ y un entero $a$ tal que $\gcd(a, n) = 1$. El orden multiplicativo de $a$ módulo $n$, que escribimos como $\text{ord}_n(a)$, es el entero positivo más pequeño $k$ tal que $a^k \equiv 1 \pmod{n}$. Si $\gcd(a, n) \neq 1$, el orden no está definido porque $a^k$ nunca va a ser congruente a $1$ módulo $n$.
Este concepto es fundamental para la estructura del grupo multiplicativo de los enteros módulo $n$, que escribimos como $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$. Por el Teorema de Euler, sabes que $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$, lo que garantiza que ese $k$ existe y que $k \le \phi(n)$. Las potencias de $a$ se repiten periódicamente con periodo $k$. Específicamente, el conjunto de potencias ${a^1, a^2, \dots, a^k}$ son distintas módulo $n$, y $a^{k+1} \equiv a \pmod{n}$.
En las olimpiadas de matemáticas, el orden multiplicativo es la herramienta principal para resolver congruencias exponenciales y determinar las propiedades de las raíces primitivas. Te da una restricción muy fuerte sobre qué exponentes pueden dar un residuo