φ(p) = p - 1.
La función totiente de Euler $\phi(n)$ cuenta cuántos números del $1$ al $n$ son coprimos con $n$. Cuando $n$ es un número primo, este cálculo se vuelve muy sencillo.
Si $p$ es un número primo, entonces $\phi(p) = p - 1$.
Por la definición de la función totiente de Euler, $\phi(p)$ es la cantidad de enteros $k$ en el conjunto $S = {1, 2, \dots, p}$ tales que $\gcd(k, p) = 1$.
Toma cualquier entero $k$ tal que $1 \le k < p$. Como $p$ es un número primo, sus únicos divisores positivos son $1$ y $p$. El máximo común divisor $\gcd(k, p)$ tiene que ser un divisor de $p$. Por lo tanto, $\gcd(k, p)$ tiene que ser $1$ o $p$.
Como $k < p$, es imposible que $p$ divida a $k$. Así que $\gcd(k, p) \neq p$.
Esto significa que para cada $k \in {1, 2, \dots, p-1}$, tienes que $\gcd(k, p) = 1$.
Ahora considera el último elemento del conjunto, $k = p$. Claramente, $\gcd(p, p) = p$. Como $p > 1$ para cualquier primo, $\gcd(p, p) \neq 1$.
Conclusión: Los números en $S$ que son coprimos con $p$ son exactamente ${1, 2, \dots, p-1}$. Hay $p-1$ de estos números, así que $\phi(p) = p - 1$.
Vamos a calcular $\phi(7)$. Como $7$ es primo, puedes checar todos los números del $1$ al $7$:
Los números coprimos con $7$ son ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Hay $6$ de ellos, lo cual coincide con nuestra fórmula: $\phi(7) = 7 - 1 = 6$.
La función totiente $\phi(n)$ alcanza su valor máximo cuando $n$ es primo. Para cualquier número compuesto $n > 1$, se cumple que $\phi(n) \le n - \sqrt{n}$. Pero para los primos: $$\phi(p) = p - 1$$ Esto muestra que $\phi(n)$ es "grande" (está cerca de $n$) específicamente cuando $n$ es primo.