Calcular n^k mod 10 o mod 100.
Encontrar los últimos $k$ dígitos de un entero grande $N$ es equivalente a calcular el valor de $N \pmod{10^k}$. Específicamente, encontrar el último dígito corresponde a calcular $N \pmod{10}$, y encontrar los últimos dos dígitos corresponde a calcular $N \pmod{100}$. Esta técnica es fundamental en las matemáticas de competencia porque transforma problemas computacionalmente imposibles que involucran exponentes masivos (por ejemplo, $7^{2023}$) en aritmética manejable usando propiedades modulares.
La idea central se basa en la naturaleza cíclica de la aritmética modular. Cuando calculas potencias $a^n \pmod m$, los residuos eventualmente se repiten en un ciclo. Para el caso específico de módulo 10, los residuos de las potencias se repiten con un periodo (longitud de ciclo) de máximo 4. Por ejemplo, las potencias de 3 módulo 10 son $3, 9, 7, 1, 3, \dots$. Al determinar la longitud de este ciclo, usualmente mediante el Teorema de Euler, puedes reducir exponentes grandes a números más pequeños y fáciles de manejar.
Para problemas más avanzados, como encontrar los últimos dos dígitos (módulo 100), revisar el ciclo directamente es muy tedioso. En su lugar, usa el Teorema de Euler o el Teorema del Residuo Chino. Una estrategia común para el módulo 100 es calcular el valor