a⁻¹ ≡ a^(p-2) mod p.
En aritmética modular, haces la "división" multiplicando por el inverso multiplicativo modular. Para un entero $a$ y un módulo $m$, el inverso $a^{-1}$ es el entero $x$ que hace que $ax \equiv 1 \pmod m$. Aunque el Algoritmo de Euclides Extendido es un método general para encontrar inversos para cualquier $a$ y $m$ coprimos, calcularlo puede ser algo tedioso. Cuando el módulo es un número primo $p$, puedes aprovechar una propiedad muy poderosa de la teoría de números llamada el Pequeño Teorema de Fermat para encontrar el inverso de forma mucho más directa usando potencias.
Esta técnica usa el hecho de que para cualquier primo $p$ y cualquier entero $a$ que no sea divisible por $p$, tienes que $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Si manipulas los exponentes, puedes aislar un solo factor de $a$ de un lado y las potencias restantes del otro, lo que básicamente te da el inverso de inmediato. Este método es súper útil en competencias como el AMC 10/12 cuando el módulo es un primo pequeño, o cuando el problema ya incluye exponenciación modular, lo que te permite reducir potencias rápido.
La idea detrás de esto es que en el campo finito de los enteros módulo $p$, las potencias de un número eventualmente regresan a 1 en un ciclo. El Pequeño Teorema de Fermat garantiza que este