a⁻¹ existe si y solo si mcd(a,n) = 1.
En la aritmética normal, cada número real $a$ que no sea cero tiene un inverso multiplicativo $1/a$ tal que $a \cdot (1/a) = 1$. En la aritmética modular, buscas un concepto parecido pero limitado a los enteros. El inverso multiplicativo modular de un entero $a$ módulo $n$ es un entero $x$ tal que $ax \equiv 1 \pmod n$. A este inverso lo sueles denotar como $a^{-1}$. Sin embargo, a diferencia de los números reales donde cada elemento distinto de cero tiene un inverso, el inverso modular no siempre existe.
Que exista un inverso modular depende totalmente de la relación entre el número $a$ y el módulo $n$. Específicamente, $a^{-1} \pmod n$ existe si y solo si $a$ y $n$ son coprimos (primos relativos). Si $a$ y $n$ comparten algún factor común mayor a 1, es imposible multiplicar $a$ por cualquier entero $x$ para obtener un residuo de 1 al dividir entre $n$. Esto pasa porque cualquier combinación lineal de $a$ y $n$ tiene que ser divisible por su máximo común divisor.
Este concepto es fundamental para resolver congruencias lineales de la forma $ax \equiv b \pmod n$. Si el inverso existe, puedes "dividir" entre $a$ (multiplicar por $a^{-1}$) para despejar $x$, muy parecido a como resuelves $ay = b$ en álgebra. Si el inverso no existe, la congruencia podría no tener soluciones o tener varias, dependiendo de si $b$ es divisible entre $\gcd(a,n)$. Entender esta condición es necesario para temas más avanzados como el Teorema del Residuo Chino y el Teorema de la Función Totiente de Euler.
Definición de Inverso Modular Un entero $x$ es el inverso modular de $a$ módulo $n$ si: $$ax \equiv 1 \pmod n$$ Lo escribes como $x \equiv a^{-1} \pmod n$.
Teorema de Existencia El inverso modular $a^{-1} \pmod n$ existe si y solo si: $$\gcd(a, n) = 1$$
Unicidad Si el inverso existe, es único módulo $n$. Es decir, si $x_1$ y $x_2$ son ambos inversos de $a$ módulo $n$, entonces: $$x_1 \equiv x_2 \pmod n$$
Conexión con la Identidad de Bézout La condición de existencia es una consecuencia directa de la Identidad de Bézout, que dice que para cualesquiera enteros $a$ y $n$, existen enteros $x$ e $y$ tales que: $$ax + ny = \gcd(a, n)$$
Teorema: La congruencia $ax \equiv 1 \pmod n$ tiene solución si y solo si $\gcd(a, n) = 1$.
Demostración:
Hay que demostrar la implicación en ambas direcciones:
Parte 1: $(\Rightarrow)$ Supón que existe un entero $x$ tal que $ax \equiv 1 \pmod n$. Por la definición de congruencia, esto significa que $ax - 1$ es un múltiplo de $n$. Por lo tanto, existe un entero $k$ tal que: $$ax - 1 = nk$$ Si reacomodas esta ecuación, obtienes: $$ax - nk = 1$$ Sea $d = \gcd(a, n)$. Por definición, $d$ divide a $a$ y $d$ divide a $n$. Como $d$ divide a $a$, tiene que dividir a $ax$. Como $d$ divide a $n$, tiene que dividir a $nk$. Por lo tanto, $d$ debe dividir a la combinación lineal $ax - nk$. Sustituyendo con la ecuación de arriba, $d$ tiene que dividir a $1$. Como $d$ es un entero positivo que divide al 1, se tiene que $d = 1$. Así que $\gcd(a, n) = 1$.
Parte 2: $(\Leftarrow)$ Supón que $\gcd(a, n) = 1$. Por la Identidad de Bézout, como el máximo común divisor de $a$ y $n$ es 1, existen enteros $x$ e $y$ que cumplen la ecuación diofántica lineal: $$ax + ny = 1$$ Ahora mira esta ecuación módulo $n$. Como $ny$ es un múltiplo de $n$, se tiene que $ny \equiv 0 \pmod n$. Tomando la ecuación módulo $n$: $$ax + 0 \equiv 1 \pmod n$$ $$ax \equiv 1 \pmod n$$ Así, el entero $x$ de la Identidad de Bézout sirve como el inverso multiplicativo de $a$ módulo $n$.
Conclusión: Un inverso modular existe si y solo si $\gcd(a, n) = 1$. $\square$