mcm(a,b) · mcd(a,b) = ab.
La relación entre el Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD) es un concepto fundamental en la teoría de números elemental. Para cualquier par de enteros positivos $a$ y $b$, el producto de su MCM y su MCD es exactamente igual al producto de los números mismos. Esta identidad te da un atajo muy útil para tus cálculos: calcular el MCD suele ser fácil usando el Algoritmo de Euclides, y esta relación te permite encontrar el MCM al instante sin tener que andar listando múltiplos.
Este concepto aparece seguido en competencias como el AMC 8 y el AMC 10 porque conecta la estructura multiplicativa de los enteros. De forma intuitiva, el MCD representa la "intersección" de los factores primos de dos números (los factores que comparten), mientras que el MCM representa la "unión" de sus factores primos (los factores que están en al menos uno). Cuando multiplicas $a$ y $b$, estás contando cada factor primo de ambos números. Pero ojo, los factores compartidos se cuentan dos veces. Como el MCD tiene esos factores compartidos exactamente una vez, si divides el producto $ab$ entre $\text{gcd}(a,b)$, quitas lo que sobra y te quedas con el MCM.
Para entender esta relación, hay que apoyarse en el Teorema Fundamental de la Aritmética. Cada entero está formado por factores primos elevados a potencias específicas. Para cualquier primo $p$ en específico, el exponente de $p$ en $\text{gcd}(a,b)$ es el más chico de sus exponentes en $a$ y $b$, mientras que el exponente en $\text{lcm}(a,b)$ es el más grande. Como la suma del mínimo y el máximo de dos números siempre es igual a la suma de los números mismos, los exponentes en el producto $\text{lcm}(a,b) \cdot \text{gcd}(a,b)$ coinciden perfectamente con los exponentes en $a \cdot b$.
Para cualquier par de enteros positivos $a$ y $b$:
La Identidad Fundamental: $$ \text{lcm}(a,b) \cdot \text{gcd}(a,b) = a \cdot b $$
Cómo calcular el MCM usando el MCD: $$ \text{lcm}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\text{gcd}(a,b)} $$
Propiedad de los Exponentes Primos: Si $v_p(n)$ representa el exponente del primo $p$ en la factorización de $n$, entonces: $$ \min(v_p(a), v_p(b)) + \max(v_p(a), v_p(b)) = v_p(a) + v_p(b) $$
Nota sobre 3 o más números: Esta identidad no se generaliza directamente a tres o más números. En general: $$ \text{lcm}(a,b,c) \cdot \text{gcd}(a,b,c) \neq a \cdot b \cdot c $$
Teorema: Para enteros positivos $a$ y $b$, $\text{lcm}(a,b) \cdot \text{gcd}(a,b) = ab$.
Demostración: Toma las factorizaciones primas de $a$ y $b$ que te da el Teorema Fundamental de la Aritmética. Puedes escribirlas usando el conjunto de todos los números primos $p_1, p_2, \dots, p_k$ que dividen a al menos uno de los números: $$ a = p_1^{x_1} p_2^{x_2} \dots p_k^{x_k} $$ $$ b = p_1^{y_1} p_2^{y_2} \dots p_k^{y_k} $$ donde $x_i, y_i \ge 0$ son enteros.
El Máximo Común Divisor lo obtienes tomando el exponente mínimo para cada factor primo: $$ \text{gcd}(a,b) = p_1^{\min(x_1, y_1)} p_2^{\min(x_2, y_2)} \dots p_k^{\min(x_k, y_k)} $$
El Mínimo Común Múltiplo lo obtienes tomando el exponente máximo para cada factor primo: $$ \text{lcm}(a,b) = p_1^{\max(x_1, y_1)} p_2^{\max(x_2, y_2)} \dots p_k^{\max(x_k, y_k)} $$
Ahora, considera el producto $\text{lcm}(a,b) \cdot \text{gcd}(a,b)$: $$ \text{lcm}(a,b) \cdot \text{gcd}(a,b) = \prod_{i=1}^k p_i^{\max(x_i, y_i)} \cdot \prod_{i=1}^k p_i^{\min(x_i, y_i)} $$ $$ = \prod_{i=1}^k p_i^{\max(x_i, y_i) + \min(x_i, y_i)} $$
Para cualquier par de números reales $x$ y $y$, la suma de su máximo y su mínimo es simplemente su suma: $\max(x,y) + \min(x,y) = x + y$. Si aplicas esto a los exponentes: $$ = \prod_{i=1}^k p_i^{x_i + y_i} $$ $$ = \left( \prod_{i=1}^k p_i^{x_i} \right) \cdot \left( \prod_{i=1}^k p_i^{y_i} \right) $$ $$ = a \cdot b $$
Por lo tanto, $\text{lcm}(a,b) \cdot \text{gcd}(a,b) = ab$. $\square$