Demostrando que q y r son únicos.
La Unicidad de la División es una parte fundamental del Algoritmo de la División (o División Euclidiana). Mientras que la parte de la "existencia" del algoritmo te garantiza que siempre puedes dividir un entero $a$ entre un entero $b$ distinto de cero para encontrar un cociente $q$ y un residuo $r$, la parte de la "unicidad" te asegura que solo hay una forma de hacer esto de tal manera que el residuo cumpla la condición específica $0 \le r < |b|$. Sin esta unicidad, la estructura básica de la aritmética se vendría abajo; por ejemplo, no podrías definir conceptos como la "paridad" (par/impar) o la aritmética modular, porque un número podría tener varios residuos diferentes al dividirlo entre el mismo divisor.
En las matemáticas de olimpiada, este concepto lo vas a usar mucho de forma implícita en problemas de teoría de números que involucran aritmética modular, representaciones en diferentes bases y patrones cíclicos. Si un problema dice que un número $n$ deja un residuo de 3 al dividirlo entre 7, la unicidad te asegura que $n$ no puede dejar también un residuo de 5 al dividirlo entre 7. Esto te permite armar sistemas de congruencias y resolver incógnitas con total seguridad.
Para que te des una idea, puedes imaginar los enteros como puntos en una recta numérica. Los múltiplos del divisor $b$ funcionan como marcas fijas separadas a la misma distancia. Cualquier entero $a$ tiene que caer exactamente en un intervalo entre dos múltiplos consecutivos de $b$ (digamos, entre $bq$ y $b(q+1)$). El cociente $q$ te dice en qué intervalo cae $a$, y el residuo $r$ representa la distancia desde la marca inferior $bq$ hasta $a$. Como un punto en una recta no puede estar en dos intervalos diferentes al mismo tiempo, los valores de $q$ y $r$ tienen que ser únicos.
El Enunciado del Algoritmo de la División Para cualquier entero $a$ (el dividendo) y cualquier entero $b$ (el divisor) con $b \neq 0$, hay enteros únicos $q$ (cociente) y $r$ (residuo) tales que: $$a = bq + r$$ $$0 \le r < |b|$$
La Condición de Unicidad Para demostrar la unicidad, supón que hay dos pares de soluciones $(q, r)$ y $(q', r')$ y demuestra que tienen que ser idénticos. Si: $$a = bq + r \quad \text{and} \quad a = bq' + r'$$ con $0 \le r < |b|$ y $0 \le r' < |b|$, entonces: $$q = q' \quad \text{and} \quad r = r'$$
Teorema: Sean $a$ y $b$ enteros con $b > 0$. Si $a = bq + r$ con $0 \le r < b$ y $a = bq' + r'$ con $0 \le r' < b$, entonces $q = q'$ y $r = r'$.
Demostración: Supón que hay dos formas de representar $a$ y demuestra que tienen que ser la misma.
Iguala las representaciones: Como ambas expresiones son iguales a $a$, tienes: $$bq + r = bq' + r'$$
Acomoda los términos: Resta $bq'$ y $r$ de ambos lados para agrupar los términos que tienen $b$: $$b(q - q') = r' - r$$
Analiza los límites de la diferencia de los residuos: Sin perder generalidad, supón que $r' \ge r$. Como tienes las condiciones $0 \le r < b$ y $0 \le r' < b$, la diferencia entre $r'$ y $r$ tiene que cumplir: $$0 \le r' - r < b - 0$$ $$0 \le r' - r < b$$
Analiza la divisibilidad: Fíjate en la ecuación del Paso 2: $b(q - q') = r' - r$. El lado izquierdo, $b(q - q')$, se ve claro que es un múltiplo de $b$. Por lo tanto, el lado derecho, $r' - r$, también tiene que ser un múltiplo de $b$.
Conclusión: El único entero que es múltiplo de $b$ y que está en el intervalo $[0, b)$ es el $0$. Por lo tanto, tienes que: $$r' - r = 0 \implies r' = r$$
Despeja el cociente: Sustituye $r' - r = 0$ en la ecuación del Paso 2: $$b(q - q') = 0$$ Como $b \neq 0$, tiene que ser cierto que: $$q - q' = 0 \implies q = q'$$
Así, el cociente $q$ y el residuo $r$ son únicos. $\square$