A partir de (m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)².
La parametrización de las ternas pitagóricas es una técnica fundamental en la teoría de números que sirve para generar soluciones enteras a la ecuación $a^2 + b^2 = c^2$. Aunque con un simple tanteo puedes encontrar ternas específicas como $(3, 4, 5)$ o $(5, 12, 13)$, resolver ecuaciones diofánticas avanzadas suele requerir un método sistemático para describir todas las soluciones posibles. La fórmula de Euclid te da esta solución general, permitiéndote expresar las tres variables $a, b,$ y $c$ en términos de dos parámetros enteros, que normalmente escribimos como $m$ y $n$.
Esta técnica es crucial en competencias como el AMC 12 y el AIME porque transforma una restricción geométrica (los lados de un triángulo rectángulo) o una ecuación cuadrática en propiedades aritméticas de los enteros (divisibilidad y paridad). Al sustituir las formas parametrizadas en un problema, reduces una ecuación de tres variables a un sistema de dos variables, lo que a menudo revela factorizaciones o límites que de otro modo no se verían.
La deducción se basa en la identidad algebraica $(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2+n^2)^2$. Sin embargo, el verdadero poder de la teoría está en el recíproco: demostrar que toda terna pitagórica primitiva debe tener esta forma algebraica específica. Esta idea conecta la estructura algebraica de los cuadrados con las propiedades geométricas del círculo unitario, específicamente los puntos racionales en el círculo $x^2 + y^2 = 1$.
Fórmula de Euclid Para cualquier par de enteros $m > n > 0$, puedes generar una terna pitagórica $(a, b, c)$ con: $$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$$ Nota que $a$ y $b$ representan los catetos y $c$ representa la hipotenusa.
Condiciones para Ternas Primitivas Una terna es primitiva si $\gcd(a, b, c) = 1$. La fórmula genera una terna primitiva si y solo si:
La Identidad Generadora La identidad algebraica garantiza la validez de la parametrización: $$(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$$
Solución General Todas las ternas pitagóricas (primitivas y no primitivas) se obtienen multiplicando la solución primitiva por un entero $k$: $$a = k(m^2 - n^2), \quad b = k(2mn), \quad c = k(m^2 + n^2)$$
Teorema: Si $a, b, c$ son enteros positivos tales que $a^2 + b^2 = c^2$ y $\gcd(a, b, c) = 1$, entonces existen enteros primos relativos $m > n > 0$ con paridad opuesta tales que (después de posiblemente intercambiar $a$ y $b$): $$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$$
Demostración:
Paso 1: Análisis de paridad Como $\gcd(a, b, c) = 1$, $a$ y $b$ no pueden ser ambos pares (de lo contrario $c$ sería par, y el máximo común divisor sería al menos 2). Si $a$ y $b$ fueran ambos impares, tendrías $a^2 \equiv 1 \pmod 4$ y $b^2 \equiv 1 \pmod 4$, lo que implicaría que $c^2 = a^2 + b^2 \equiv 2 \pmod 4$. Esto es imposible porque los cuadrados perfectos son congruentes con 0 o 1 módulo 4. Por lo tanto, un cateto es impar y el otro es par. Sin perder generalidad, supón que $a$ es impar y $b$ es par. Como $a$ es impar y $b$ es par, $c$ tiene que ser impar.
Paso 2: Factorización Reacomoda la ecuación $a^2 + b^2 = c^2$ como: $$b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a)$$ Como $b$ es par, pon $b = 2k$. Entonces $b^2 = 4k^2$. $$4k^2 = (c - a)(c + a)$$ Al dividir entre 4, obtienes: $$k^2 = \left(\frac{c - a}{2}\right) \left(\frac{c + a}{2}\right)$$ Nota que como $c$ y $a$ son ambos impares, su suma y su diferencia son pares, así que los términos en los paréntesis son enteros.
Paso 3: Primos relativos entre los factores Sea $d = \gcd\left(\frac{c - a}{2}, \frac{c + a}{2}\right)$. Entonces $d$ debe dividir a la suma y a la diferencia de estos dos términos: $$d \mid \left(\frac{c + a}{2} + \frac{c - a}{2}\right) \implies d \mid c$$ $$d \mid \left(\frac{c + a}{2} - \frac{c - a}{2}\right) \implies d \mid a$$ Como $d$ divide tanto a $a$ como a $c$, y como empezamos con $\gcd(a, c) = 1$ (porque la terna es primitiva), tienes que $d = 1$. Así que $\frac{c - a}{2}$ y $\frac{c + a}{2}$ son primos relativos.
Paso 4: Introduciendo los parámetros $m$ y $n$ Tienes el producto de dos enteros primos relativos igual a un cuadrado perfecto ($k^2$). Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, cada factor debe ser, por sí mismo, un cuadrado perfecto. Pon: $$\frac{c + a}{2} = m^2 \quad \text{y} \quad \frac{c - a}{2} = n^2$$ para algunos enteros positivos $m$ y $n$.
Paso 5: Despejando $a, b, c$ Al resolver el sistema para $c$ y $a$: $$c = \frac{c + a}{2} + \frac{c - a}{2} = m^2 + n^2$$ $$a = \frac{c + a}{2} - \frac{c - a}{2} = m^2 - n^2$$ Para encontrar $b$, recuerda que $b^2 = (c-a)(c+a) = (2n^2)(2m^2) = 4m^2n^2$. Al sacar la raíz cuadrada: $$b = 2mn$$
Paso 6: Verificando las condiciones sobre $m$ y $n$ Como $\frac{c+a}{2}$ y $\frac{c-a}{2}$ son primos relativos, $m^2$ y $n^2$ son primos relativos, lo que implica que $\gcd(m, n) = 1$. Además, como $c = m^2 + n^2$ is impar, $m^2$ y $n^2$ deben tener paridad opuesta, lo que implica que $m$ y $n$ tienen paridad opuesta. Finalmente, como $a > 0$, tienes que tener $m > n$.
Así, queda la parametrización: $$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$$ $\square$